高中数学纲目

抛解析几何之目~物线和圆：2012年文数全国卷题20（文理同题）

2021-09-17 本文已影响0人易水樵

抛物线和圆：2012年文数全国卷题20（文理同题）

（20）（本小题满分12分）
设抛物线 $C:x^2=2py(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $A$ 为C上一点，已知以 $F$ 为圆心， $FA$ 为半径的圆 $F$ 交 $l$ 于 $B,D$ 两点.
（I）若 $\angle BFD=90°$ ， $\triangle ABD$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程；
（Ⅱ）若 $A,B,F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点，求坐标原点到 $m,n$ 距离的比值.

【解答问题I】

因为 $A,B,D$ 三点在同一个圆上，所以 $|FA|=|FB|=|FD|=R$

因为 $A$ 点在抛物线上，所以 $A$ 点到准线的距离 $h=|FA|=R$

因为 $\angle BFD=90°, |FB|=|FD|$ , 所以 $\triangle FBD$ 是等腰直角三角形， $|BD|=\sqrt{2}|FB|, |FB|=\sqrt{2}p$

$S_{\triangle ABD}= \dfrac{1}{2} |BD| \cdot h = \dfrac{\sqrt{2}}{2} R^2 = 4\sqrt{2}$

$R=2\sqrt{2}$

$p=2$

圆 $F$ 的方程为： $x^2+(y-1)^2=8$

【解答问题Ⅱ】

因为 $A,B,F$ 三点在同一直线 $m$ 上，所以 $AB$ 是圆 $F$ 的直径. 直径所对的圆周角为直角，所以 $\angle ADB=90°$ .

又因为点 $A$ 在抛物线上， $|AD|=|FA|$ , 所以 $\angle ABD=30°$ , $AB$ 的斜率为 $k=\dfrac{1} {\sqrt{3}}$ .

直线 $m$ 的方程为： $y= \dfrac{1} {\sqrt{3}} x + \dfrac{p}{2}$

直线 $n$ 与 $m$ 平行，其方程可设为： $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}} x + b$

代入抛物线方程，可得：

$x^2- 2p \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} x - 2p \cdot b = 0$

因为 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点，所以

$\Delta= 2p \cdot 2p \cdot \dfrac{1}{3} + 2p \cdot 4 \cdot b =0$

$b=-\dfrac{1}{6}p$

直线 $n$ 的方程为： $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}} x -\dfrac{1}{6}p$

直线 $m$ 的方程： $\dfrac{1}{\sqrt{3}} x - y + \dfrac{p}{2} =0$

直线 $n$ 的方程： $\dfrac{1}{\sqrt{3}} x -y -\dfrac{1}{6}p =0$

坐标原点到 $m$ 距离为： $d_m = \dfrac{\dfrac{p}{2}}{\sqrt{\dfrac{4}{3}}}$ ; 到 $n$ 距离为： $d_n = \dfrac{\dfrac{p}{6}}{\sqrt{\dfrac{4}{3}}}$ .

$d_m : d_n = 3:1$

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