学习计划：第05周（20190812-20190818)

2019-08-15  本文已影响0人  木圭金夆

0x00 本周学习内容

知识点：抽样分布

本周的知识点有两大块的内容，考虑到大家的基础及学习时间的不同，本周的学习内容分为两种方式，时间和经历投入少的同学按照第一种即可。

均值

方差

标准差

均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是有限的。

方差（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。

而标准差给我们描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。

以这两个集合为例，[0, 8, 12, 20]和[8, 9, 11, 12]，两个集合的均值都是10，但显然两个集合的差别是很大的，计算两者的标准差，前者是8.3后者是1.8，显然后者较为集中，故其标准差小一些，标准差描述的就是这种“散布度”。之所以除以n-1而不是n，是因为这样能使我们以较小的样本集更好地逼近总体的标准差，即统计上所谓的“无偏估计”。而方差则仅仅是标准差的平方。

变异系数又称“标准差率”，是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。

标准差与平均数的比值称为变异系数，记为C.V。变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。

变异系数的计算公式为：

变异系数越小，变异(偏离)程度越小，风险也就越小；反之，变异系数越大，变异(偏离)程度越大，风险也就越大。

一个容量为n的数据，一个典型的偏度计算方法如下：

其中\bar{X}为样本的均值（和\mu 的区别是，\mu 是整体的均值，\bar{X}为样本的均值）。s是样本的标准差，m_{3}是样本的3阶中心距。

另外一种定义如下：

k_{3}是三阶累积量K_{3}的唯一对称无偏估计(unique symmetric unbiased estimator)（k_{3} 和K_{3} 写法不一样）。k_{2}=s{2} 是二阶累积量的对称无偏估计。

大多数软件当中使用G_{1}来计算skew，如Excel，Minitab，SAS和SPSS。


其中 是四阶累积量的唯一对称无偏估计， 是二阶累积量的无偏估计（等同于样本方差），是样本四阶平均距， 是样本二阶平均距。

同样，大多数程序都是采用G_{2}来计算峰度。

样本方差的分布

设X_{1},X_{2},...,X_{n}为来自正态分布的样本，则可以推出：

设总体分布为N(\mu,\sigma ^{2})的正态分布，则样本方差S^{2}的分布为：

(n−1)S^{2}/\sigma ^{2}∼\chi ^2(n−1)

两个样本方差的分布

中心极限定理：设从均值为\mu、方差为\sigma ^{2}（有限）的任意一个总体总抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值\bar{X}的抽样分布近似服从为均值为\mu、方差为\sigma ^{2}/n的正态分布。

注意：什么是当n充分大呢？大样本、小样本之间的区分并不是以样本容量大小来区分的。在样本容量固定的条件下所进行的统计推断、问题分析，不管样本容量有多大，都称为小样本问题，而在样本容量n—>∞的条件下所进行的统计推断、问题分析则称为大样本问题。一般统计学中的n≥30为大样本，n<30为小样本只是一直经验说法。

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