GSLAv5学习手册

课本已经给出了够多的问题，我这里列出的只是我自己个人的一些见解与提问，仅供参考。

关键词

• 线性空间、线性变换
• 线性空间、线性变换的矩阵表达、与矩阵的关系
• 代数，关于代数部分，GSLA提及的并不多。所以，我试图增加一些进来。

第一章的问题

• 请问课本描述的向量 v = ( v_1, v_2, ... , v_n)的各个分量v_i 落在什么范围：自然数（N）、整数（Z）、实数（R）、复数（C）？
• 标量乘法中的标量又落在什么范围？比如，av，我们要求a和v的分量都在同一个范围吗？
• 假设，要求向量v的分量落在{0, 1, ..., p-1}, p是一个素数，乘法、加法都是mod p的乘法、加法，请问书本中的向量长度、标量乘法、加法、点积等等的运算是否还会满足？
• 重点关注Dot Product（Inner product）的定义、直观含义与性质。说到这里，不能不说GSLA的表述缺乏严谨性，有可能导致出现一些问题。首先，Inner product是以两个空间向量为输入的一种运算，要求满足特定的属性，换而言之，可以有多种定义，只需满足要求即可。其次，就必须强调了，到底满足了什么属性？请大家自己归纳总结书本给出的定义。以下我列出一种常见的属性要求：
  内积的属性
  请注意，GSLA是说<v, w> == <w, v>，与这里的定义不同。暂时不要管，这里给的定义更严谨，GSLA在特定的情况下也没有错，因为他只考虑了实数向量。
• 重点关注Independent和Denpendent的直观含义；
• 重点关注Schwarz不等式，习题：P.20 19、21题
• 矩阵就是矩阵，书本引入矩阵的时候是用矩阵来表达向量的combination。请注意，以后矩阵可以有很多的不同内涵，包括：Permutation、Elimination等等。所以，不要先入为主地把矩阵理解为某种“特定”的结构。

第二章的问题

• 第二章的标题似乎有点误导“Solving Linear Equations”，我认为第二章主要讲矩阵的操作：Matrix Operations。
• 所以，请大家关注并熟悉矩阵的各种操作：加法、乘法、转置、求逆矩阵等，还有就是LU分解。
• LU分解能成功，需要什么条件限制吗？
• Block Matrix的操作值得注意，在以后的学习研究中，矩阵分块操作是非常频繁的，不要像我当初肤浅地理解为没啥意思。
• Cost of Elimination是关于计算效率的讨论，是CSers的重点关注点，大家能用CSers常用的语言BigO，给出一种效率描述吗？

第三章的问题

• 首先关注Space和Subspace的定义。有意思的是，GS老人家在正文说得很简洁，反而是在P131的Problem Set 3.1列出了“空间” 的8条性质。需要大家认真思考。Vector的表述中首次提到R^n这个表达。

• 这里给出一种所谓“群”的定义，如图所示。请大家思考，这个Group、Subgroup（子群，群的子集且又构成群）与Space、Subspace的相似与有区别之处。进而思考Space有没有可能是群？

  
  Group的定义

• P135-136, Example1 和Example对Free variable进行取值的时候的技巧体现出一种什么思想？也就是问，为什么要这样取值，这样的取值有什么好处，是想确保什么？

• 矩阵的Rank与空间的关系?其实，不妨问多一句，矩阵与空间的关系。

• The Complete Solution to Ax = b，从操作的角度上看讲得是非常简洁，我不知道大家看了是否能明白整个求解过程？反而是内涵解释比较详细。如果不清楚整个计算过程的也许要多做题，或者从其他教材中找些实例来看。求解方程的意义远没有通过Space的内涵给予解释的意义大，当然，只是我个人的看法。我把求解Ax=b看为运用Space定义去讲解Space的一个媒体。

• 3.4节对前面的操作给出了内涵解释：independent、basic、dimension，非常重要的概念。矩阵的Rank与空间的Dimension的关系是什么？提这个问题似乎有点傻，因为矩阵不一定与空间有什么关系。所以，只能是假定有关系的情况下才能问。似乎我们问问题的时候需要把脑洞打开。

• 3.5是本章的一次检阅、总结，意义很大。以下这幅图是值得记住的一幅图。也可能是GSLAv5最重要的一幅图。

  
  Four Fundamental Subspaces

• 关注 P. 184- 185关于A与R各子空间的解释，有不懂的要提出。建议，小组集体阅读讨论。

线性变换与矩阵的关系

线性变换与矩阵的关系是我最想强调与补充的一个知识点。如下图所示：

线性变换与矩阵-1 线性变换与矩阵-2

其实，以上公式倒数第二行，我宁愿写成：
(T(e1) T(e2) ... T(en)) x
因为T(e_i)和x 都只是列向量而已。甚至不写可能还更清晰。这个证明需要大家好好体会。

第四章（待续）

• N(A) 与C(A^T) 正交、N(A^T) 与C(A)正交的两种证明。
• 关注“正交补”这个概念，体会N(A)正交补就是C(A^T)的含义。
• 问题：如何理解“every x can be split into a row space component and a null space component”？（P. 198）
• 重述P. 198 Example 4 上两段关于x_r = x_r'的证明。重点关注整个证明的思路。
• Projection 应该是一个重要分割点。

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20191025晨