定义

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：

这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数a_ij 位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 a_ij为(i,j)元的矩阵可记为(a_ij)或(a_ij)m × n，m×n矩阵A也记作a_mn。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵

基本运算

矩阵运算在科学计算中非常重要，而矩阵的基本运算包括矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置

加法

矩阵的加法满足下列运算律(A，B，C都是同型矩阵)：

应该注意的是只有同型矩阵之间才可以进行加法

减法

数乘

矩阵的数乘满足以下运算律：

矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算

转置

把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵(A^T) ，这一过程称为矩阵的转置

矩阵的转置满足以下运算律：

共轭

矩阵的共轭定义为:

共轭矩阵是针对复数来说的,把矩阵中A中的每一项aij转变成其共轭复数

.一个2×2复数矩阵的共轭如下所示 ：

则

3+i 的共轭是 3-i
2-2i 的共轭是 2+2i
5 的共轭是 5
i 的共轭是 -i

共轭转置

矩阵的共轭转置定义为：

，也可以写为：

或者写为

。

共轭转置也是针对复数来说的,先将矩阵共轭获取到共轭矩阵,再将共轭矩阵转置

一个2×2复数矩阵的共轭转置如下所示：

则

乘法

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个m×p矩阵C=c(_ij)，它的一个元素：

并将此乘积记为:

举例

矩阵的乘法满足以下运算律：

结合律：

左分配律：

右分配律：

矩阵乘法不满足交换律

行列式

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A |

一个n×n的正方矩阵A的行列式记为det(A)或者|A|

定义

n阶行列式
设

是由排成n阶方阵形式的n²个数aij(i,j=1,2,...,n)确定的一个数，其值为n！项之和

式中k1,k2,...,kn是将序列1,2,...,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，Σ号表示对k1,k2,...,kn取遍1,2,...,n的一切排列求和，那么数D称为n阶方阵相应的行列式.

性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
②行列式A等于其转置行列式A^T(A^T的第i行为A的第I列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。
④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。
⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

感觉4 5条很重要

举例

一个2×2矩阵的行列式可表示如下：

一个3×3矩阵的行列式可表示如下：

结果为 a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1(注意对角线就容易记住了）
这里一共是六项相加减，整理下可以这么记：
a1(b2·c3-b3·c2) - a2(b1·c3-b3·c1) + a3(b1·c2-b2·c1)=
a1(b2·c3-b3·c2) - b1(a2·c3 - a3·c2) + c1(a2·b3 - a3·b2)

此时可以记住为：
a1(a1的余子式)-a2(a2的余子式)+a3(a3的余子式)=
a1(a1的余子式)-b1(b1的余子式)+c1(c1的余子式)

一个n×n矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的代数余子式乘积之和，即：

在n阶行列式中，把元素aₒₑi所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aₒₑi的余子式，记作Mₒₑ，

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