线性代数(5) 行列式的性质

linearalgebra.png

行列式转置

所谓转置就是把原来的行做成列就是转置的操作。转置符号就是用上标 T，矩阵的转置也是这样表示。有关转置在机器中也是一种对矩阵常见操作。在 numpy 提供了转置操作，对矩阵通过点 T 操作就可以对矩阵求转置。

转置

行列式性质

• 对行成立的性质，对列也成立

b = np.array([[1,2],[2,3]])
np.linalg.det(b) # -1
np.linalg.det(b.T) # -1

从上面代码执行结果来看，行列式转置值和行列式的值相等

• 两行互换，行列式值变号

a_1 = np.array([[1,2,3],[3,2,1],[1,3,3]])
np.linalg.det(a_1) # 8
a_2 = np.array([[3,2,1],[1,2,3],[1,3,3]])
np.linalg.det(a_2) # -8

接下来我们来看一个有趣行列式，我们会发现下面行列式 1 行 3 行相等，那么将 1 行 3 行互换后的行列式值和原行列式相等

推论：两个行(列)相等，那么

• 某一行都乘以数 k 等于用 k 乘以这个行列式 D
  

推论: 某一行都有公因子 k 那么 ke 提取到行列式外面去。

a_3 =  np.array([[1,2,3],[3*2,2*2,1*2],[1,3,3]])
np.linalg.det(a_3) # 16

这里 16 = 8 * 2 也就是将 a_1 的第二行都乘以常数 2 后得到 a_3 的行列式值就是等于 a_1 行列式的值乘以 2.

a_5 =  np.array([[1*2,2*2,3*2],[3*2,2*2,1*2],[1*2,3*2,3*2]])
np.linalg.det(a_5) #64

行列式所有元素均有公因子，k 向外提取 n 次。

• 两行元素成比例，则行列式值等于 0

a_6 = np.array([[1,2,3],[2,4,6],[0,0,1]])
np.linalg.det(a_6) # 0

证明也很好理解

通过对第二行提取公因子 2 得到行列式两行相等，所以行列式值等于 0.

推论:如果行列式某一行全是 0 那么这个行列式为 0 。

a_7 = np.array([[1,2,3],[0,0,0],[0,0,1]])
np.linalg.det(a_7) #0

证明一下，我们可以把全部是 0 行看作其他行乘以 0 的结果，所以提出 0 公因子后两行就相等，所以行列式值为 0。

• 将某一行所有元素都是两项和，则该行列式可以表示为两个行列式相加，如下

• 行列式某一行所以乘以数 k 加到另一行上去，行列式的值不变，此性质对列依然有效

这里比较主要我们来证明一下

a_6 = np.array([[1,2,3],[3,4,6],[2,2,1]])
np.linalg.det(a_6) #4
a_8 = np.array([[1,2,3],[3 + 1 *2,4 + 2 *2 ,6 + 3*2],[2,2,1]])
np.linalg.det(a_8) #4