10.2沿路径积分

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柯西定理，积分表达式，工具，解析函数可表幂级数

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曲线，参数区间，始点，终点，闭曲线
路径，逐段连续可微的曲线
闭路径，闭曲线+路径
可知，路径的要求比曲线高，曲线不过是连续映射，其中的尖点可以无穷多，而路径要求这些尖点有限。能否可数呢？就像阶梯函数？不知道，应该可以。等会，曲线要求参数区间为紧区间，所以定义域必然有界，所以不存在可数个尖点。只能是有限的。

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曲线上的连续函数积分，定义为每点函数的值与曲线的参数导数的加权和。
通过连续可微双射，联系两条路径，进行曲线的参数区间变换，不改变积分值。这样的路径就是等价路径。

也就是这种积分形式容许了曲线的参数变换。为了体现差别，所有的路径需要分成等价类。

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等价类的概念引入了代数演算，也就是对参数区间的任意划分不改变其积分值。从而可以逐段积分。
反向路径，调转曲线方向，积分值相差负号。具体体现在积分中曲线的参数导数的符号上。
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积分不等式，关键在于两步，一步是函数的绝对值积分不小于函数的积分，这里需要注意积分值非负，第二步是函数最大值积分不小于函数积分，从而将函数提出积分号。
解释，曲线上高低起伏的积分不大于曲线长与最大值乘积。
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特殊的积分路径，正向圆周，可进行参数变换，变成极坐标积分。计算中常用。
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有向区间，也就是线段，也可进行参数变换，变成线积分。
区间变换，标准操作，替换线段两端点。
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有向三角形，出现了三角形的边界，即为有向的三条边。容许轮换变换，奇数次交换变号。

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z关于闭路径的指数，这个定理没那么简单。闭路径并不是想象中的一个圈，而是可以自交，出现很多个圈，所以才会说在每一个分支为常数，无界分支为零，为什么取值不同，因为圈中奇点的缘故。
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简单看看证明，首先参数变换，将曲线化为参数曲线，替换积分变量。后面看不明白，为什么导数为零呢？等会，导数，算了一下还真如此，这样的证明未免太技巧了。之前证明积分的时候就遇见过，正好凑出个1，看来是作者的风格。
后面的论述更加奇葩，一个是积分形式导致解析，一个连通性导致分支上取值相同，因为整数集的连通分支就是单个点。
最后是一个估计，这个证明很不好看。非常的技术性。

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积分的几何含义，为参数环绕一圈（闭路径），虚部的纯增量。换做整数也称为环绕数。路径绕某点几圈。

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几何上显然。计算上，就是特殊路径。