大禹治水与勾股定理

一

“昔者周公问于商高，曰：窃闻乎大夫善数也，请问古者包犧立周天历度？夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？

商高曰：数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三、股修四、径隅五。既方其外，半（伴）之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”

上文，今所见《周髀算经》开头段落，提到两个人物：包犧、禹。可见，周朝人虽不清楚“数”的起源，但晓得包犧利用“数”立历、大禹利用“数”治水的传说。

文中，勾股定理的文字表述，可用图形示意，见下：

文中，勾股定理的验证表述，可用算式表达，见下：

            （3×3）+（4×4）= 25

                          √25＝5

二

“周公曰：大哉！言数。请问用矩之道？

商高曰：平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。

方属地，圆属天，天圆地方。方数为典，以方出圆，笠以写天。天青黑，地黄赤，天数之为笠也。青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。是故，知地者智，知天者圣。智出于句，句出于矩。夫矩之于数，其裁制万物，惟所为耳。

周公曰：善哉！”

文中所言“方数为典，以方出圆”，如何理解？见下图，也就释然了。

书中，在“周公曰：大哉！言数”前，有三张“勾股圆方图”。从书的排版来看，大字，顶格，为原文；小字，顶格，为赵婴注文。照此而言，“勾股圆方图”为大字、顶格，也就是原文。那么，三张图也应该是原图，非赵婴绘制。

图中，底祔由七七四十九个单元格组成，当为合矩。勾实、股实、弦实的实，也就是今所称的面积，为单元格的个数。图的原始样子，应该带颜色。具体说，合矩为黑色，勾实为青色，股实为黄色，弦实为朱色与黄色。如此这般，易于查核勾股弦的单元格个数。进而，开方得出三者比例关系，即3：4：5。

而且，为便于理解，利用颜色，将勾股弦与天地关联，即“天青黑，地黄赤”。那么，为何将勾与天相关联？π约等于3.1415926，代指圆。当然，先秦人只精确到整数3。

以上周公与商高对话，道出了先秦人所创立的基础数学——小九九、圆周率、勾股定理等。