[PySAL] 空间权重
1. 介绍
空间权重是许多空间分析的基础，可以用多种方式来表示。
PySAL能够创建、处理和分析三类空间权重矩阵：
- Contiguity Based Weights
- Distance Based Weights
- Kernel Weights
2. PySAL空间权重类型
由于空间矩阵往往十分稀疏，为了节省存储空间，PySAL使用两个字典来存储空间矩阵——邻居矩阵和权重矩阵。
2.1 邻接权重
首先让我们来创建一个5×5的网格（25个空间单位）：
>>> import pysal
>>> w = pysal.lat2W(5, 5)
其中，w对象有很多属性。
>>> w.n
25
>>> w.pct_nonzero
12.8
>>> w.weights[0]
[1.0, 1.0]
>>> w.neighbors[0]
[5, 1]
>>> w.neighbors[5]
[0, 10, 6]
>>> w.histogram
[(2, 4), (3, 12), (4, 9)]
n是空间单元的数目。
pct_nonzero表示矩阵的稀疏程度。
weight用来存储权重。
neighbor用来存储邻居。
histogram则展示了邻接情况，上面的例子中，表示4个单元有2个邻居，12个单元有3个邻居，9个单元有4个邻居。
邻居的定义也是可以更改的。
>>> wq = pysal.lat2W(rook = False)
>>> wq.neighbors[0]
[5, 1, 6]
PySAL里有三种规则：Rook（车）、Queen（后）、Bishop（象）。
会玩国际象棋的话应该比较容易理解，Rook规则表示边与边相邻才算邻居，Queen规则表示只要有一个角相邻就算邻居，Bishop规则表示有角相邻且没有边相邻才算邻居。
Bishiop规则不是基本规则，要通过PySAL的Difference方法计算得到。
lat2W函数在需要使用规则形状的矩阵来仿真时挺有用的。在实证研究中，通常会有一个shapefile，是一种非拓扑关系的向量数据结构，然后就需要进行和空间权重相关的空间分析。因为文件中不含拓扑关系，因此在分析前，需要先建立空间权重矩阵。
PySAL会默认根据邻接图建立权重，一般会用到.from_shapefile方法：
>>> w = pysal.weights.Rook.from_shapefile(pysal.examples.get_path("columbus.shp")
>>> w.n
49
>>> print "%.4f"%w.pct_nonzero
0.0833
>>> w.histogram
[(2, 7), (3, 10), (4, 17), (5, 8), (6, 3), (7, 3), (8, 0), (9, 1)]
如果用Queen规则，只要把上面代码中的Rook换成Queen即可。
此外，还可以用含geometry列的dataframe建立权重矩阵。其中dataframe可以是geopandas的，也可用PySAL pandas IO extension的pdio。
>>> import geopandas as gpd
>>> test = gpd.read_file(pysal.examples.get_path('south.shp'))
>>> W = pysal.weights.Queen.from_dataframe(test)
>>> Wrook = pysal.weights.Rook.from_dataframe(test, idVariable='CNTY_FIPS')
>>> pdiodf = pysal.pdio.read_files(pysal.examples.get_path('south.shp'))
>>> W = pysal.weights.Rook.from_dataframe(pdiodf)
再或者，也可以从可迭代的形状对象直接建立。
>>> import geopandas as gpd
>>> shapelist = gpd.read_file(pysal.examples.get_path('columbus.shp')).geometry.tolist()
>>> W = pysal.weights.Queen.from_iterable(shapelist)
最后还有.from_file方法。但是它返回的对象是W，不是前面的Queen或者Rook。因为如果没有原始形状，不能确认权重就是邻接权重。
>>> W = pysal.weights.Rook.from_file(pysal.examples.get_path('columbus.gal'))
>>> type(W)
pysal.weights.weights.W
2.2 距离权重
除了邻接，距离也可以用来确定权重。
注意：距离要在平面上计算，所以必须事先进行投影。
2.2.1 k最近邻权重
这里的邻居用k最近邻准则定义。
下面的例子中，用前面的5×5网格的质心来作为测距的基点。首先，建两个25维数组来存坐标，放进data里。
>>> import numpy as np
>>> x,y=np.indices((5,5))
>>> x.shape=(25,1)
>>> y.shape=(25,1)
>>> data=np.hstack([x,y])
接下来定义kNN权重：
>>> wknn3 = pysal.weights.KNN(data, k = 3)
>>> wknn3.neighbors[0]
[1, 5, 6]
>>> wknn3.s0
75.0
最近邻计算用KD树实现。为了避免多次重建KD树，提供了让用户改编权重的简便方法。下面是reweight方法：
>>> w4 = wknn3.reweight(k=4, inplace=False)
>>> w4.neighbors[0]
[1,5,6,2]
>>> l1norm = wknn3.reweight(p=1, inplace=False)
>>> l1norm.neighbors[0]
[1,5,2]
>>> set(w4.neighbors[0]) == set([1, 5, 6, 2])
True
>>> w4.s0
100.0
>>> w4.weights[0]
[1.0, 1.0, 1.0, 1.0]
其中，k是最近邻个数，p是p范数。默认是不新建kNN对象的。
其实我们也可以直接从shapefile建立kNN权重矩阵。
>>> wknn5 = pysal.weights.KNN.from_shapefile(pysal.examples.get_path('columbus.shp'), k=5)
>>> wknn5.neighbors[0]
[2, 1, 3, 7, 4]
或者从dataframe建立：
>>> import geopandas as gpd
>>> df = gpd.read_file(ps.examples.get_path('baltim.shp'))
>>> k5 = pysal.weights.KNN.from_dataframe(df, k=5)
2.2.2 距离阈值权重
k-NN权重保证所有对象都有相同数量的邻居。
另一种基于距离的权重则依靠距离阈值或距离段来定义，在研究对象周围一定距离阈值内的才是它的邻居。
>>> wthresh = pysal.weights.DistanceBand.from_array(data, 2)
>>> set(wthresh.neighbors[0]) == set([1, 2, 5, 6, 10])
True
>>> set(wthresh.neighbors[1]) == set( [0, 2, 5, 6, 7, 11, 3])
True
>>> wthresh.weights[0]
[1, 1, 1, 1, 1]
>>> wthresh.weights[1]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
可见，不同对象可能邻居不一样多。
和前面一样，这个也能直接从dataframe创建：
>>> import geopandas as gpd
>>> df = gpd.read_file(pysal.examples.get_path('baltim.shp'))
>>> pysal.weights.DistanceBand.from_dataframe(df, threshold=6, binary=True)
或者shapefile：（先确认一下最小阈值）
>>> thresh = pysal.min_threshold_dist_from_shapefile(pysal.examples.get_path("columbus.shp")
>>> thresh
0.61886415807685413
>>> // 下面就可以获得 distance band weights 了：
>>> wt = pysal.weights.DistanceBand.from_shapefile(pysal.examples.get_path("columbus.shp", threshold=thresh, binary=True)
>>> wt.min_neighbors
1
>>> wt.histogram
[(1, 4), (2, 8), (3, 6), (4, 2), (5, 5), (6, 8), (7, 6), (8, 2), (9, 6), (10, 1), (11, 1)]
>>> set(wt.neighbors[0]) == set([1,2])
True
>>> set(wt.neighbors[1]) == set([3,0])
True
距离阈值矩阵也可以读取连续数值。权重是距离的倒数。
>>> points = [(10, 10), (20, 10), (40, 10), (15, 20), (30, 20), (30, 30)]
>>> wid = pysal.weights.DistanceBand.from_array(points,14.2,binary=False)
>>> wid.weights[0]
[0.10000000000000001, 0.089442719099991588]
如果把衰减指数设为-2，那结果就是重力权重：
>>> wid2 = pysal.weights.DistanceBand.from_array(points,14.2,alpha = -2.0, binary=False)
>>> wid2.weights[0]
[0.01, 0.0079999999999999984]
3. 核密度权重
将基于距离的权重和连续值权重结合起来，我们就得到了核密度权重。
>>> points = [(10, 10), (20, 10), (40, 10), (15, 20), (30, 20), (30, 30)]
>>> kw = pysal.Kernel(points)
>>> kw.weights[0]
[1.0, 0.500000049999995, 0.4409830615267465]
>>> kw.neighbors[0]
[0, 1, 3]
>>> kw.bandwidth
array([[ 20.000002],
[ 20.000002],
[ 20.000002],
[ 20.000002],
[ 20.000002],
[ 20.000002]])
bandwidth参数相当于距离的一个阈值，而核密度函数决定了衰减方式。 可选的核密度函数包括：‘triangular’, ’uniform’, ’quadratic’, ’epanechnikov’, ’quartic’, ’bisquare’, ’gaussian’。
bandwidth是可以自定义的（可以是定值，也可以是可变的数组）：
>>> bw = [25.0,15.0,25.0,16.0,14.5,25.0]
>>> kwa = pysal.Kernel(points,bandwidth = bw)
>>> kwa.weights[0]
[1.0, 0.6, 0.552786404500042, 0.10557280900008403]
>>> kwa.neighbors[0]
[0, 1, 3, 4]
>>> kwa.bandwidth
array([[ 25. ],
[ 15. ],
[ 25. ],
[ 16. ],
[ 14.5],
[ 25. ]])
可变的带宽可以是自生的：
>>> kwea = pysal.Kernel(points,fixed = False)
>>> kwea.weights[0]
[1.0, 0.10557289844279438, 9.99999900663795e-08]
>>> kwea.neighbors[0]
[0, 1, 3]
>>> kwea.bandwidth
array([[ 11.18034101],
[ 11.18034101],
[ 20.000002 ],
[ 11.18034101],
[ 14.14213704],
[ 18.02775818]])
试试换一个核密度函数：
>>> kweag = pysal.Kernel(points,fixed = False,function = 'gaussian')
>>> kweag.weights[0]
[0.3989422804014327, 0.2674190291577696, 0.2419707487162134]
>>> kweag.bandwidth
array([[ 11.18034101],
[ 11.18034101],
[ 20.000002 ],
[ 11.18034101],
[ 14.14213704],
[ 18.02775818]])
具体内容参见Kernel。
类似地，也有Kernel.from_shapefile和Kernel.from_dataframe。
