换个姿势学数学：对数是一个换了『马甲』的除法？！

2019-03-09 本文已影响31人 d61f25068828

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上一次，我们简单的谈了一下对数的历史，你可能并没有注意到，上一次并没有涉及计算指数本身。

相对来说这个函数是少用的，越高级的运算，在日常生活中用的也就越少。

普通人生活中的计算，基本是加法和减法；如果你开小卖部的话，最多加上一点乘法和除法，用到幂和对数的时候几乎是没有的。

请问，有谁想知道 $log_53$ 是多少呢？

所以说，即使完全没有提，好像也完全没有什么违和感。

其实计算指数在科学和工程中，是常用的。

在工程师的眼中算 $log_53$ ，就如同你计算 $\frac{3}{5}$ 一样简单。

你也想有这种能力吗？^_

被遗忘的计算规则

探索未知事物往往要从已知中寻找线索，要掌握对数的运算规律先看一下，乘法是怎么计算出来的。

➣请问有没有人能够直接告诉我 $1582×7$ 是多少？

如果你没有学过速算技巧，那就只能乖乖的在纸上算一下：

1528×7的一种计算方法

仔细的思考一下，你会发现其本质就是把任何数之间的乘法，变成 $0-9$ 之间的乘法。

➣为什么要变成 $0-9$ 呢？

因为0到9，我们已经计算过一次了，并且还做了一个叫做“九九乘法表”的东西，并且已经烂熟于心。

➣由此可得到什么启发呢？

乘法的运算，就是把一切都变成“乘法表”；那么，对数的计算，也就是把一切都变成“对数表”。

它们的区别仅仅在于：“乘法表”是 $0-9$ ，而对数表是以 $10$ 为底；乘法表可以直接背下来，对数表太长，我们只能查。

所以，只要把任何的对数变成 $lg$ 形式，那么计算也就完成了，剩下的工作就是查表和四则运算了。

从除法看对数

之前说函数的时候我们谈到过，之所以出现函数的这种写法，主要就是因为符号不够用了。

对数 $log_aN$ 之所以让人看了容易犯晕，很大程度上就是因为最常见的加减乘除，用的都是符号，而对数运算用的是文字。

乘法和幂对应，除法和对数对应，要从除法运算找灵感，为了易于发现规律，我们让除法也采用函数形式。

商的英文是 $quotients$ ，那么就像对数一样，我们也取前三个字母。

现在有等式 $5 × 12 = 60$ ，假设其中的 $12$ 我们是不知道的，设其为 $x$ ，我们需要用商函数来求。

那么 $x=\frac{60}{5}$ ，也可以写成 $quo_{5}{60}$ ，也可以读作：求以 $5$ 为底的 $60$ 的商。

现在为了模拟对数的情况，就假装我们并不知道 $\frac{60}{5}$ 的计算技巧，我们需要把右边的式子凑成一个以 $10$ 为底的商的形式，这样的话我们就可以查“商数表”来计算了。

那么，很自然的， $quo_{5}{60}=\frac{60}{5}=\frac{\frac{60}{10}}{\frac{5}{10}}=\frac{quo_{10}{60}}{qup_{10}{5}}$ 。

就这么简单计算已经完成了，没错就是这么简单。

滑稽

同理，对数也是这样，把上面所有“商”换成“对数”，就是计算对数的方法。

证明换底公式

之前谈过，对数恒等式 $b^{{log}_b{y}}=y$ ，现在需要做的就是：把高高在上的这个指数 ${{log}_b{y}}$ 拿到地下来，表示成 ${{log}_b{y}} = lg？· lg？$ 的形式。

然后，我们还清楚，对数有个神奇的能力，就是“运算降级”，所以说真数的幂运算就是对数的乘法运算， $M · log_aN=log_a({M}^{N})$ 。

那么，在恒等式两边都使用 $lg()$ 函数，则 $lgb^{{log}_b{y}}=lgy$ ，因为对数的“运算降级”，所以 ${{log}_b{y}}$ 这个高高在上的指数咔嚓一下就掉地下了，变成乘法运算了。

那么就是： ${{log}_b{y}} · lgb=lgy$ ，也就是 ${{log}_b{y}}=\frac{lgy}{lgb}$ 。

这也就是所谓的“换底公式”，用符号形式来表示，其实就是： $\frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{10}}{\frac{b}{10}}$ 。

证毕~

可以说，换底公式是对数运算的基础，有了它，我们就可以计算任意的对数了。其性质其实和除法非常像，所以并不难，所以可以开玩笑地说“对数是一个换了马甲的除法”。

两个推论

这是我从王后雄的教辅上抄的，看着是不是很吓人呐，哎呦呦，看着就头晕。

其实简单的很：

$log_a^mN^n=\frac{n}{m} · log_aN$ 其实就是 $\frac{N · n}{m · a}$ = $\frac{n}{m} · \frac{N}{a}$

$log_ab=\frac{1}{log_b{a}}$ 其实就是 $\frac{b}{a}=\frac{1}{\frac{a}{b}}$

计算镭的半衰期

现在我们已知等式， $(1-0.014)^x=\frac{1}{2}$ ；这是幂的形式。

对数形式是 $log_{(1-0.014)}{\frac{1}{2}}$ ，叫做：以 ${(1-0.014)}$ 为底的 ${\frac{1}{2}}$ 的对数。

然后就是， $\frac{lg{\frac{1}{2}}}{lg(1-0.014)}$ 。

到此为止，计算就完成了，剩下的工作就是查表了。

如果你绕不过弯儿来，那你就把 $log$ 还原成符号的形式，计算完成之后再还原回来。

求 $\frac{(1-0.014)}{\frac{1}{2}}$ ，那么 $\frac{\frac{(1-0.014)}{10}}{\frac{\frac{1}{2}}{10}}$ ，既然是以 $10$ 为底，那么就可以简写成 $lg$ ，故 $\frac{lg{\frac{1}{2}}}{lg(1-0.014)}$ 。

其实这就是我们常见的除法运算规则，只不过换成函数形式之后，一时间绕不过弯来，时间长了是一样的。

e的故事

经常见到的 $lnx$ 是什么意思呢？这叫做“自然对数”，也就是以 $e$ 为底的对数。

为什么单单是 $e$ 能够得到如此的赞誉，配得上“自然”二字？

因为， $e$ 和数学中的很多现象有神秘的关系。

不过说简单也简单，其实e的诞生，源于“利滚利”问题的研究，之前我们刚刚说过。

估计大家早就接触过e了，不过也许你并不懂这是什么意思，这也不奇怪。

e的这个定义，通常都放在大部头的分析教科书的最开始处，这是模仿法国的教法，而丝毫不讲它的来由，这样就丢掉了真正有价值的、能促进理解的部分，即不解释为什么恰好用这样特别的极限做底...这种不问究竟的态度是可鄙的实用主义，它藐视任何一种比较高级的教学原则，对它必须严厉谴责。 - 克莱因《高观点下的初等数学》[2]

注释

[1] 题目来自《数理化自学丛书》，这一套书是十年动乱之后，高考恢复时，提供给给考生的自学书籍。可以说是一代考生的集体记忆。

[2] 菲利克斯 · 克莱因是 19 世纪末 20 世纪初世界最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人。同时他也是一位教育家，是现代国际数学教育的奠基人。

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作者信息

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心如止水：阅读思考践行