切割化弦法解三角函数求值问题

2020-07-21  本文已影响0人  天马无空
切割化弦解三角函数求值问题

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.

方法一 切割化弦

使用情景：一般三角求值类型

解题步骤：

第一步 利用同角三角函数的基本关系\tan \theta=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}，将题设中的切化成弦的形式；

第二步 计算出正弦与余弦之间的关系；

第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.

例1 已知\tan (\pi -\alpha)=-\dfrac{2}{3}，且\alpha \in \left(-\pi,-\dfrac{\pi}{2}\right)，则\dfrac{\cos (-\alpha)+3\sin(\pi + \alpha)}{\cos(\pi - \alpha)+9\sin \alpha}的值为（ ）

A．-\dfrac{1}{5} B．-\dfrac{3}{7} C．\dfrac{1}{5} D．\dfrac{3}{7}

【答案】A

【解析】

\tan (\pi -\alpha)=-\dfrac{2}{3} \Rightarrow \tan \alpha=\dfrac{2}{3}

\dfrac{\cos (-\alpha)+3\sin(\pi + \alpha)}{\cos(\pi - \alpha)+9\sin \alpha}

=\dfrac{\cos \alpha-3\sin \alpha}{-\cos \alpha+9\sin \alpha}

=\dfrac{1-3\tan \alpha}{-1+9\tan \alpha}

=\dfrac{1-2}{-1+6}

=-\dfrac{1}{5}

【总结】三角函数式的化简要遵循“三看”原则

（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.

这是一类典型的“给角求值”问题，运用切化弦的思想，利用同角三角函数的基本关系即可达到求值的目的.

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