初探数学思维（二）：数学思想与方法

一、公理化方法（逻辑思维方法）

公理化方法也称演绎法，从尽可能少的原始概念和公理出发，按照逻辑推理规则，推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。

一个公理系统要满足三条：

• 相容性：定理和他的否定理不能同时成立（最重要）
• 独立性：公理不能用其他公理推到出来
• 完备性：能推到出锁研究的某分支的全部命题

二、类比法（数学创造发现的方法）

1. 类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上相似。
2. 数的概念扩充：

• 自然数集合（加法、乘法）
• 整数集合（加法、减法、乘法）
• 有理数集合（加法、减法、乘法、除法）
• 实数集（加法、减法、乘法、除法、极限）
• 复数集合（加法、减法、乘法、除法、极限、开方）

三、归纳法（逻辑学中的方法）和数学归纳法（数学中的一般方法）

归纳法

1. 归纳法是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方法。但是归纳法得到的结论未必可靠。

2. 归纳法的特点：

• 立足于观察和实验；
• 结论具有猜测性质；
• 结论超越了前提所包含的内容。

3. 归纳法是实验科学最基本的方法。
4. 归纳法用于猜测和推断。

数学归纳法：

1. P(n)是一个含有自然数n的命题，如果
   （1）P(n) 当n=1时成立；
   （2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。
   那么P(n)对任意自然数n都成立。
   ☆这两个步骤，（1）称为归纳起点，
   （2）称为归纳推断。

2. 数学归纳法是一种完全归纳法，主要用于证明

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四、数学构造法（基本数学方法）

1. 数学中的概念或方法按固定的方式经有限步骤能够定义或实现的方法。

2. 数学构造法的应用:
   构造概念、图形、公式、算法、方程、函数、反例、
   命题等

3. 例子：

• 求一元二次方程的根。
• 求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转
  相除法。
• 勾股定理（毕达哥拉斯定理）。

4. 构造概念
   导数、 微分、定积分、反常积分、重积分、线积分、面积分、方向导数、梯度、散度、旋度等等。

五、化归法（基本数学方法）

1. 化归法是指把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。

2. 其过程就是将一个问题由繁化简，由难化易，由复杂化简单，由未知化已知。

3. 化归有三个要素：

• 化归的对象；
• 化归的目标；
• 化归的手段。

4. 使用各种化归方法应遵循的原则：

• 熟悉化原则；
• 简单化原则；
• 和谐化原则。

5. 实行化归的常用方法：特殊化与一般化、关系映射反演（RMI）、分解与组合...

特殊化与一般化

• 依据
  ①若命题P在一般条件下为真，则在特殊条件下P也为真；
  ②若命题P在特殊条件下为假，则在一般条件下P也为假。
• 特殊化方法：
  在研究一个给定集合的性质时，先研究某些个体或子集的性质，从中发现每个个体都具有的特性后，再猜想给定集合的性质，最后用严格
  的逻辑推理论证猜测的正确性；
• 一般化方法：
  在研究一个给定集合的性质时，先研究包含该集合的较大集合的性质，从中发现较大集合所具有的性质，再根据特殊化与一般化的依据①推出所要证明的命题。

关系映射反演方法（RMI-Relationship, Mapping, Inversion）

• 基本思想：当处理某问题甲有困难时，可以联想适当的映射，把问题甲及其关系结构R，映成与它有一一对应关系，且易于考察的问题乙，在新的关系结构中问题乙处理完毕后，再把所得到的结果，通过映射反演到R，求得问题甲的结果。
• RMI 原则
  令R表示一组原像的关系结构（或原像系统），其中包含着待确定的原像x。令M表示一种映射（一一对应法则），通过它的作用假定原像结构系统R被映成关系结构R，其中自然包含了未知原像x的映像x。如果有办法把x*确定下来，则通过反演即逆映射也就相应地把x确定下来。
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六、数学模型方法

1. 数学模型（MM）:针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。
2. 数学模型方法（MM方法）：借助数学模型揭示对象本质特征和变化规律的方法。
3. MM构造过程的关键
   （a）对现实原型，分析其对象与关系结构的
   本质属性，以便确定MM的类别；
   （b）要确定所研究的系统并抓住主要矛盾；
   （c）要进行数学抽象。
4. MM的特点
   （a）在MM上应具有严格推导（逻辑推理）的
   可能性以及导出结论的确定性；
   （b）MM 相对于较复杂的现实原型来说，应具
   有化繁为简、化难为易的特点。
5. 数学建模的过程：
   模型准备---模型假设---模型建立---模型求解---模型检验---模型应用
6. 成功的MM:

• 解释已知现象；
• 预言未知现象；
• 被实践所证明。

7. 数学模型的意义：

• 对所研究的对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果；
• 任何一项数学的应用，主要或首先就是数学模型方法的应用。