自然数的产生

现实生活中广泛使用的自然数，产生于人们对数量的抽象；自然数之间的大小关系，产生于人们对数量之间多少关系的抽象。人们发明了十个符号和数位的方法，有效地表达了自然数，形成了十进制记数系统。从更专业的角度看自然数的产生，我对数和数字有了更多的认识。

第一，自然数的产生。

从远古时代开始，人们就需要创造出一些语言来表达事物量的多少。这样的表达可以追溯到商代。人类对于数量多少的感知比语言的形成还要早数字表达的特点是数字背后都有着具体的背景；数字表达的形式是数字后面都有后缀名词，一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋、五匹马、六头牛、七张纸、八顶帽子、九件衣服、十条裤子……汉语系统中数量表达之精细，堪称为世界之最。

作为数，应该具备两方面的性质：一是背景，二是运算。所以，数量不能作为数学研究的对象。数学研究的对象应当是更抽象的东西。

之前我们就认识到：抽象有基于对应的抽象，有基于内涵的抽象。自然数的产生也如此。

在小学数学的教学过程中，自然数的抽象是基于对应的：首先，利用图形一般性表示事物数量的多少；然后，对图形的多少进行命名；最后，把命名的东西符号化。

小学数学中这样的教学方法是符合认识规律的。

对应关系的本质是：如果两个集合的元素能够一一对应，那么这两个集合的元素是一样多的。这样的认识是从特殊开始的，这样的思维是基于直觉的。

在基于对应的抽象中，形象化的图形是沟通数量与自然数对应关系的桥梁，这样的表达方式是具有一般性的，我们称这样的表达方式为“模式”。数学上也称能够认识或者解决一类数学间题的方法为“模式"。

现今数学界，人们广泛认可的关于自然数的定义，是皮亚诺算术公理体系。这是一种基于内涵的定义。这种定义的出发点是细化了的大小关系：自然数是一个一个大起来的。先有1，1的后续为2，2比1大，表示为2=1+1……通过这样的后续关系，就定义所有的自然数，同时又定义了加法。

一个事实揭示了自然数集合可以扩张的关键，这就是关于自然数的起始。皮亚诺最初规定自然数是从1开始的，后来又规定自然数从0开始。这是非常必要的。0和1分别是规定加法逆运算和乘法逆运算的基础，而逆运算的完备性是数域得以扩张的基础。

总结起来说：在形式上，自然数的抽象去掉了数量后面的后缀名词；在实质上，自然数的抽象去掉了数量所依赖的现实背景。所以数学研究的不是具体背景下的东西，而是一般的具有规律性的东西。

第二，自然数的表达。

1、自然数的古典表达。因为自然数的数量无穷多，因此在原则上，表达所需符号也无穷多，这是一个天大的难题。于是，聪明的人类发明了进位的方法，使得有些符号可以重复使用。如果记数规则是十进制的，那么，除了一到九的符号之外，还需要创造出十进位记数符号。

在古代中国，十进制符号是十十、百、千等；在古代罗马，相应的符号是X，C，Ｍ等。在这样的符号系统中，五十并不是指50，而是指五个十；三万也不是指30000，而是指三个万。因此，这样的表示方法是从语言表达向符号表达的过渡，我们称之为准数字符号系统。

准数字字符号系统能够相当广泛地适用于人们的日常生活，因此这样的表达沿用至今。但是，准数字符号系统有两个致命弱点：一个是不利于运算，另一个是表达不完备。

2、自然数的现代表达。表示自然数的关键是十个符号和数位。十个符号是基于十进制的，人们之所以采用十进制，大概与人有十根手指有关，人们通过对应的方法认识了自然数，十进制就是把事物的数量与十根手指相对应。数位的想法类似于古代中国发明的算盘；同样多的算珠在不同位置表示的量不同。

表示零的符号“0”是古印度人发明的。它的原意是“空”。古印度人认为“空”也是一种存在，甚至认为是一种绝对的存在。

我们都知道：数位与数是不同的。各民族对于数，特别是对于数位的读法也不尽相同。

人类从最初发明用自然数表达数量，到最终完成十进制自然数的记数系统，经历了一个相当漫长的抽象过程。这个过程最初是为了日常生活的需要，然后是为了数学自身发展的需要。

关于自然数，克罗内克有句常被人们引用的话：“上帝创造了自然数，其余的都是人的工作。”

这句话一方面表述了自然数的重要性，另一个方面也表述了人们对理解自然数以外其他“数”的苦恼。而负数的出现，使自然数得到了极大的扩充。

幸运