批量梯度下降和随机梯度下降

1.概念

（1）批量梯度下降---最小化所有训练样本的损失函数，使得最终求解的是全局的最优解，即求解的参数是使得风险函数最小。

（2）随机梯度下降---最小化每条样本的损失函数，虽然不是每次迭代得到的损失函数都向着全局最优方向， 但是大的整体的方向是向全局最优解的，最终的结果往往是在全局最优解附近。

2.数学表达

以下以圆拟合为例，已知m个数据拟合点，需要找到最优的拟合圆，即最佳的圆心（xc，yc），最佳拟合半径R。

圆拟合损失函数可以表示为：

圆拟合损失函数

就是要找到最佳拟合圆，使得损失函数最小化：

损失函数最小化

2.1. 批量梯度下降的求解思路

（1）将L对xc，yc，R求偏导，得到各自的梯度

参数梯度

（2）由于是要最小化风险函数，所以按每个参数的梯度负方向，来更新每个参数，假设学习率为lr

参数更新

（3）从上面公式可以注意到，它得到的是一个全局最优解，但是每迭代一步，都要用到训练集所有的数据，如果m很大，那么可想而知这种方法的迭代速度！！所以，这就引入了另外一种方法，随机梯度下降。

2.2. 随机梯度下降的求解思路

随机梯度下降是求每个样本的损失函数，对参数求偏导得到对应梯度，来更新参数。

第 i个样本的损失函数 第 i个样本的参数梯度 参数更新 随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次，如果样本量很大的情况（例如几十万），那么可能只用其中几万条或者几千条的样本，就已经将theta迭代到最优解了，对比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十几万训练样本，一次迭代不可能最优，如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。但是，SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。

3.matlab代码

批量梯度下降 随机梯度下降 拟合结果