处处连续不可微函数

萌芽

连续性与可微性的关系是古典分析中的重要课题。早在牛顿和莱布尼兹的时代, 人们就已知道连续性是可微性的必要条件, 然而对连续性是否是可微性的充分条件这一问题的认识却经历了一个漫长的过程。

直到十九世纪中叶, 人们还把函数的概念和作为动点运动轨道的曲线的几何概念联系在一起。 由于动点必须经过它的轨道上任两点之间的每一个点, 因此曲线是连续的; 又因为动点在它的轨道上的每一点都有确定的运动方向,因此曲线在每一点处都有切线。正是出于这种直观的考虑, 当时的数学家相信, 连续性是可微性的充分条件。当时几乎所有的数学家都相信“任何连续函数除个别点外都是可微的”, 甚至象高斯、 柯西和狄利克雷这样杰出的数学家, 也从未在其著作中提到他们对此持不同意见, 虽然他们并没有公开赞成该观点, 但他们之中没有一个相信存在处处不可微的连续函数。

波尔察诺和黎曼

无处可微连续函数的第一个例子是由波尔察诺于1834年在一份手稿中提出的, 但他的手稿1920年才被发现。波尔察诺定义的函数并没有解析表达式, 而是用一条曲线来表示的。波尔察诺只是证明了他所构造的函数在定义区间中的一个处处稠密的可列集中的每一点不可微, 他不但没有觉察到这个函数具有处处不可微的特性, 而且对连续性与可微性的关系持有错误的看法, 他在1847年出版的一本著作中认为, 除自变量的一些孤立值外, 连续函数是处处可微的。波尔察诺函数的无处可微性是后来由K.理赤立克、 G. 柯瓦列夫斯基与A. N. 辛恩等人证明的。

黎曼的一些学生声称, 黎曼曾于1861年在他的演讲中给出一个用无穷级数表示的函数

作为不可微连续函数的例子, 但黎曼和他的学生均未发表过这一论断的证明, 直到1916年黎曼函数的不可微性才由G.H.哈代加以证明。

魏尔斯特拉斯的发现

第一个公开发表的无处可微连续函数的例子是由魏尔斯特拉斯构造的如下函数：

其中b是一个奇整数，

早在1860年维尔斯特拉斯就发现了这个例子,并在他的多次演讲中提出, 但直到1875年才由杜布瓦一雷蒙加以发表 (附有维尔斯特拉斯本人的证明)。

维尔斯特拉斯的发现在当时的数学界引起了巨大的轰动,用杜布瓦一雷蒙的话来说,它 “不论在直接的知觉或是在批判的理解方面, 都同样非常奇妙。”

维尔斯特拉斯的发现不仅最终地结束了想要证明最一般形式的连续函数的可微性的企图, 而且开辟了一个新的研究领域一一函数不可微性的课题, 这一课题对数学家奇妙思维的训练起了重要作用。自维尔斯特拉斯以来, 人们对它的研究延绵至今犹未停止。

总结

19世纪末20世纪初，有大批的数学家纷纷给出了处处连续不可微的函数。无处可微连续函数的发现和研究是和波尔察诺、 柯西、 维尔斯特拉斯等人给分析提供严密性的工作联系在一起的。这些工作把数学分析从对几何概念、 运动和直觉了解的完全依赖中解放出来, 它一开始就造成了巨大的轰动。

和数学中一切新运动一样, 关于无处可微连续函数也有过很多争论.。在当时, 这种函数被攻击为奇怪而无意义的函数, 它们被看成是一种变态或是函数的不健康部分, 它们还被认为在纯粹数学和应用数学的重要问题中是不会出现的。

持这种观点的不乏当时的著名数学家.。例如庞加莱说: “半个世纪以来我们已经看到了一大堆离奇古怪的函数, 它们被弄得愈来愈不象那些能解决问题的真正函数。”

埃米尔特在他的一封信中表达的心情更为典型，他写道：“我怀着惊恐的心情对不可导函数的令人痛惜的祸害感到厌恶。”

幸运的是，这些出自名家的反对意见并未能阻止数学中新事物的成长；而是随着二十世纪以来数学的巨大进展这种错误观点本身被人们抛弃。事实上，正是对函数的精确研究导致了数学的一个新分支——实变函数论的产生。另外，概率论的近代发展也显示了魏尔斯特拉斯函数与这一学科的一个应用性很强的分支——随机过程轮的重要联系：布朗运动过程几乎所有的样本轨道都是无处可微连续函数。

关于文中提到的数学家及其成果，可参考刘文的《无处可微的连续函数》。

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