2019-05-06

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最佳基带传输
- 若没有干扰和噪声，判决就不会出错
- 欲采样点符号间干扰最小，应将 $x(t),X(f)$ 设计满足奈奎斯特准则
- 欲采样点噪声尽量低（信噪比尽量高），应将接收滤波器设计为匹配滤波器
  - 进入信道的发送信号为 $s(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_s)$
  - 接收滤波器输出信号为
    - $x(t)$ 是总体冲激响应， $\gamma(t)$ 是高斯噪声
  - 对于目标符号，我们在时刻采样
    - $y_k = y(t_0+kT_s) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}a_nx_{k-n}+\gamma(kT_s) = x_0a_k+\sum_{n\neq k}a_nx_{k-n}+\gamma_k$
  - 然后将 $y_k$ 与门限进行比较
默认假设信道是理想无失真，发送及接收滤波器的冲激响应，是实信号。简单起见假设
- 为了ISI最小，可将X(f)设计为升余弦滚降特性
  - $G_T(f)G_R(f) = X(f) = X_{rcos}(f)$
- 为了噪声最小（等价于信噪比最大），可将接收滤波器设计为匹配滤波器
  - $g_R(t) = g_T(-t),G_R(f) = G_T(-f) =G_T^*(f)$
鉴于是实、偶、正函数，综合以上可得设计为
- $G_R(f) = G_T(f) = \sqrt{X_{rcos}(f)}$
称此设计下的 $g_T(t)$ 为根号升余弦频谱脉冲、根升余弦脉冲、根升余弦脉冲成形、根升余弦频谱成形。
因果化实现
- 前页给出的滤波器冲激响应不满足因果性。实际实现时需要延迟截短，使采样时刻从0变成。
  - $g_R(t) = g_T(t_0-t) = g_T(t)$ 是将标准的根升余弦脉冲截取 $[-\frac{t_0}{2},\frac{t_0}{2}]$ 部分，然后延迟 $\frac{t_0}{2}$ 使之成为一个持续时间为 $t_0$ 的因果滤波器
  - 对应的频域关系： $G_T(f)G_R(f) = X(f) = X_{rcos}(f)e^{-j2\pi ft_0}$
  - $G_R(f) = G_T^*(f)e^{-j2\pi ft_0} = G_T(f) = \sqrt{X_{rcos}(f)}e^{-j\pi ft_0}$
假设 $\{ a_n \}$ 是零均值不相关序列， $a_n$ 的方差为1，则发送信号的功率谱密度为 $P_s(f) = \frac{1}{T_s}|G_T(f)|^2 = \frac{1}{T_s}X_{rcos}(f)$
无论滚降因子 $\alpha$ 的值是多少，功率谱密度的面积（功率）是 $\frac{1}{T_s}$ ，符号能量是 $E_s = 1$
接收端的平均误比特率
- 考虑双极性PAM信号，假设 $\{a_n\}$ 的元素以独立等概方式取值于 $\pm \sqrt{E_b}$ ，其方差是 $E_b$ 。 $s(t)$ 的平均比特能量等于 $E_b$
- 对于目标符号 $a_k$ ,采样得到的判决量是 $y_k = a_k+\gamma_k$ ，根升余弦设计下 $ISI = 0,x_0 = 1$
接收滤波器输出是零均值平稳高斯过程，噪声的方差为
- $\sigma^2 = \frac{N_0}{2}E_{g_R} = \frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|G_R(f)|^2df = \frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}X_{rcos}(f)df = \frac{N_0}{2}$
- 根据对称性，最佳判决门限是 $V_T = 0$
- 发送 $a_k = +\sqrt{E_b}$ 时， $y_k = \sqrt{E_b}+\gamma_k<0$ 则判决出错,其概率等于 $\gamma_k<-\sqrt{E_b}$ 的概率，也等于 $\gamma_k>\sqrt{E_b}$ 的概率，为 $\frac{1}{2}erfc[\frac{\sqrt{E_b}}{\sqrt{2\sigma^2}}] = \frac{1}{2}erfc[\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}]$
- 发送 $a_k = -\sqrt{E_b}$ ,其出错概率是 $\frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}})$
- 平均误比特率是 $P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}})$

2019-05-06

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