代数集

虽说多项式对应的解曲线给出了代数簇的基本实例，但是，实际去考虑几何与代数的对应并不容易，主要的问题出在描述与表示之上，不可约多项式构成了代数集的基本组成部分，由此代数集视为环与多项式视为环就建立起了联系，这种环同态可以视为一种表示论，对于特定的结构而言，表示具有一一对应的性质，比如根式理想与代数集。

这种对应性质刻画了结构的联系，但是，如何才能自如的使用这两套概念体系呢？

就像实数理论中的有理数集上确界与实数一样，这是偏序集对应，即偏序集上一点等同于一点的单向滤子，根式理想建立在理想的格上，代数集则是集合格上，这种对应与伽罗华对应更接近一些。域扩张与伽罗华群，域扩张可以看做同态，伽罗华群的子群关系也是如此，是群同态。

可是代数集是零点集，这就显得很奇怪，零点集难道不是任意的吗？只要合理选择多项式的形式，总能把任意一点转化为零点，看起来，还是需要一个实际的例子才能看到一些本质特征，只不过，代数几何的基本例子如何选择呢？一个就是多项式环，另一个则是仿射空间，最好还是选择有限空间，那么多项式就是有限域上的多项式，空间为有限域上的向量空间，只不过，有限域不是代数闭域，其上多项式的分解性质可能很差。不可约多项式很多。但是，转过头想想，虽然复数域代数闭，想要表示所有的复数根本就不可能，不可约多项式的数目是无穷多，能否在无穷多的空间上整理出有限的类型？似乎没什么问题，只是，操作这样的对象无法带来理解性，或者说会导致误解与迷惑。

这就很困惑了，那还是只考虑有限情形比较好。