神奇的乘法（二）
乘法的种类已经多到计数困难了。
第六种乘法
难产的乘法：复数的乘法
因为复数出生的时候，难产，所以，这种乘法难产。
复数的出生，是因为解三次方程，为了方便起见，人们先假设任何数都可以开平方，包括负数。
于是，出现了“负一的平方根”这样的数，最早，只是假设有，通过一系列复杂的运算，又可以没有。像幽灵一样神秘，于是命名为“虚数”。
虚数的单位就是“负一的平方根”，那么负四的平方根之一就是两个虚数单位，负九的平方根之一就是三个虚数单位，类推。
虽然虚数很难产，但它是最适合乘法的。因为虚数单位是这样规定的，假如存在一个数字，自己乘以自己，结果为负一，那么，这个数就是虚数单位。人们刚开始就大方的把它成这样：
乘以i,则旋转90度
上图，点A对应的复数是(4+3i)，把这个数乘以i,结果就是(4i-3)，或者写成(-3+4i)。因此，向量OA对应的复数乘以i,
得到的复数，对应向量OB，OB就是OA逆时针转过90度的结果。这个结论，是人类研究了将近100年才得到的。
最早的加减乘除，可以在一条线上跳越前进;
有了i，就可以自由的在整个平面上跳跃了。
5 + 6i 就表示 先向东走 5步，再向北走 6步。
也可表示，从起点到终点，直接画一个箭头，既有长度，也有方向。
复数 z1 乘以复数 z2，表示把z1对应的箭头按z2 的指示，拉长（或缩短），再旋转。
或者z1指示z2，运算的结果是一样的。
也就是说：复数的乘法满足交换律。
复数发展过程中，诞生了一种叫做“向量”的东西，就是那根箭头。有长度，并且有方向。
由于虚数的神秘特征，介绍虚数以及复数的读物和文章很多，这里不展开。
第七种乘法：向量的叉乘
这种乘法，早已有之。只是，最早没有这样称呼。阿基米德研究过。就是杠杆的原理。
人在用手压直的杠杆的时候，用力的方向必然尽量垂直于杠杆。对于一个翘翘板，顺着平行于板子的方向推和拉是不起任何作用的，垂直于板子的力量才有效果。
用翘翘板的长度和人的重量，做一个矩形，这个矩形面积越大，就越能压动翘翘板。这个矩形就是力矩。
在其它的杠杆上，如果力用的有点斜，那么，做的图形就会是个平行四边形。平行四边形也没有关系，它的面积依然是力矩。
很明显，四边长度固定，矩形面积会比平行四边形大。
矩形是一种特殊的平行四边形。
力矩的大小是一个面积值。在规定单位长度以后，面积值总能化成长度值。于是，规定一边长为1,力矩就可以用另一边的长度来表示了。于是，力矩的大小也可以用一个线段的长度来表示。
杠杆有方向，力有方向，于是，力矩也有方向。
力量的方向可以理解，在翘翘板是向下。两边的人都向下。向地面上。
杠杆为什么有方向呢？因为从支点向力的作用点，一个是向东，一个是向西。
那么力矩是朝向那边的呢？力矩是朝向南北的。坐在东边的人，力矩方向超北。坐在西边的人，力矩方向朝南。
力矩的方向为何如此奇特呢？我见过很多高深的解释，什么角速度之类的都来了。其实不必。你只需要观察拧螺丝就知道了，拧螺丝的时候，使用的是杠杆，但力都发在了中央，螺丝钻入的方向，就是力矩的方向。如果你反方向拧，螺丝会退出，那么，退出的方向就是力矩的方向。
（反向的螺纹日常生活中很少见到，只出现在专业的领域。）
拧瓶盖也是，力矩的方向就是瓶盖运动的方向。不需要用右手法则慢慢比划。
因此，力矩既垂直于力，也垂直于力臂，是另一个平面上的向量。
所以，涉及到这种向量的叉乘，结果必然是在三维空间中完成的。
如果力和力臂垂直，直接用 LF 就可以计算。如果不垂直，就用 LFsin(a)。垂直的时候，角度正弦就是1。
所以，平面上，两个向量叉乘的结果还是一个向量，方向垂直于平面，大小是两向量大小的乘积，然后打折，折扣是夹角的正弦。
由于叉乘的方向已经规定了。所以，在不同的坐标系中，可以表现为不同的符号，右手系和左手系正好相反。
表示叉乘的符号，依然用小学最先接触的叉。
第八种乘法：向量的点乘
物理学中的点乘
这种乘法，早已有之。只是，最早没有这样称呼。牛顿研究过，就是做功的原理。
人在推动一个东西的时候，例如推汽车，用力的方向必然尽量与物体运动方向一致。
在推动小木块做功的时候，计算的方法是
功只有大小，没有方向。就算做无用功，也会耗费人体内的能量。
点乘也只有大小，没有方向。因此叫“标量”。
与计算叉乘方法类似，只是换成了余弦。
而这个点乘，表现在数学坐标系上，非常容易记忆和计算。
平面上O是坐标原点，有两个点 A(x1,y1)和 B(x2,y2)，对应两个向量，OA和OB。这两个向量点乘，结果就是
x1x2+y1y2。是一个数值。
物理上的理解就是，横向的力对横向的位移做功，纵向的力对纵向的位移做功，最后，把所有功加起来就是总功。
点乘是最重要的乘法。也叫做“内积”。不管多少维的向量，只要把对应的维度乘起来，然后相加就可以了。
代数中的点乘
点乘，在几何上的表现就是，一个向量a在向量b上的投影长度，乘以向量b。
满足交换律。
几何中的点乘
实际上，b*cos(theta)就是b在a上的投影，投影的写法可以是这样的：
这样定义以后，点乘可以写作：
而a在b上的投影，另一种写法是：
单位向量，就是单位1的意思，向量的大小是通过与之比例来度量的。
生活中的点乘
点乘，在生活中是最常见的。举例：
买早餐，茶叶蛋每个1.5元，每个花卷0.8元，每份豆浆2元，每根油条1元，列个表，就是这样的
假如买了4个茶叶蛋，5个花卷，3份豆浆，2根油条，列个表就是这样的
这样两个表，求总共花多少钱，用的算法就是点乘法。
附：一些两位数乘法小技巧
两位数乘以两位数，有一类很特别，那就是同时满足下面两个条件的时候，可以速算：
条件一：这两个数十位上的数相同
条件二：这两个数个位上的数字互补（加起来为10）
速算的时候，用大九九口诀，也就是说，“一一得一”必须念成“一一零一”，“二三得六”念成“二三零六”。这样，一位数乘以一位数，结果肯定是两位。
上面那种情况，结果前两位的算法是a(a+1)，后两位的算法是直接相乘。举例来说：
27×23
十位都是2,满足条件一;
个位7+3为10,满足条件二。
计算结果：
前两位2×(2+1)=23=06
后两位结果为73 =21
最终结果0621
71×79
满足两个条件
前两位7×(7+1)=56
后两位1×9=09
最终结果5609
为何写在这里呢？因为，这种算法看上去就像用(7 1)点乘(8 9)。
