期望值

解释期望值的最好事例是赌博。我们知道赌博各个结果的概率。任何一种赌博（如打1美元的赌，以一赔一的赔率赌一枚硬币正面朝上）均应看成是一次购买，进行打赌的时候，钱便花了出去。下的注便是购买的价格，它购买的是某个期望，或期望值。如果正面朝上，下注者获得2美元的收益（1美元是他付出的，另外1美元是他赢得的）；如果反面朝上，那么他的收益为0美元。这个赌博有两个可能结果——正面朝上或反面朝上；每一个结果的概率均为1/2；并且每个结果有确定的收益（2美元和0美元）。我们将每个可能结果下产生的收益与实现该结果的概率值相乘，所有这些乘积之和，即为该赌博或投资的期望或期望值。打1美元的赌，赌一枚公平的硬币投掷后出现正面朝上，该赌博的期望值等于（1/2*$2)+(1/2*$0),该值为1美元，该例子中正如我们知道的，“机会”是均等的——即，购买的期望值等于购买价格。

但是情况不总是如此。我们寻求购买的期望值大于我们投资成本的投资。我们希望优势处于我们这边。然而，我们常被一些赌博所诱惑，这些赌博的期望值比赌博的价格低。

例子1：假定，收益是一辆值20000美元的汽车——如果彩票中了的话，彩票价格为1美元。如果卖了20000张彩票，我们买了其中一张，我们买中的概率为1/20000。在这个假想的情况下，彩票的期望值为(1/20000*0),与购买彩票的价格相等，正好为1美元。但通常情况下，发行彩票是为了某个有意义的目的来筹集资金，只有当彩票卖出的钱大于以奖品付出的钱，才能筹集到资金。因而，要卖出比20000张多得多的彩票，也许40000张，80000张，甚至100000张。假定售出的彩票为40000张，1美元的采票的期望值为（1/40000*0)，即50美分。如果卖出80000张彩票，1美元的彩票的期望值减少到25美分，依此类推。我们能够肯定的是，我们购买的任何彩票的期望值必定小于我们为之付出的钱数。

安全性与收益量

有保障的银行账户，5个百分点的利息，存1年：

收益=[本金+利息]=（$1000+$50）=$1050
获得收益的概率（假定）=1
投资这个银行账户的期望值：（$1050*1=$1050）+($0*0=$0),即总数为$1050

10个百分点的利息的公司债券，到年末：

收益（如果我们获得的话）=[本金+利息]=（$1000+$100）=$1100
收益的概率（据估算）=0.99
投资该公司债券的期望值:（$1100*0.99=$1089）+($0*0.01=$0),即总数为$1089

这时候，我们认为投资债券是明智的选择。然而，如果我们推断出，我们将钱借给它的公司不是绝对可靠的，我们估计的最终收益的概率将下降，比如0.95，而期望值也将下降；

10个百分点的利息的公司债券，到年末：

收益（如果我们获得的话）=[本金+利息]=（$1000+$100）=$1100
收益的概率（据估算）=0.95
投资该公司债券的期望值：（$1100*0.95=$1045）+($0*0.05=$0),即总数为$1045

如果这个最新的估算反映了我们对出售的债券的公司的评价，那么我们将断定：银行账户尽管收益比较低，但是有高得多的安全性，投资银行账户是明智的。