拓扑学总结

2019-01-10 本文已影响0人抄书侠

考前一个小时，应该是学习这门课能达到的巅峰水平了，特此进行总结。
这都是一些零碎的小点，为不懂装懂和考试选择题作准备。

Cantor集是实数空间 $\mathbb{R}$ 中的一个闭集
积拓扑是使所有投射都连续的最小的拓扑
$S=\{(x,sin\frac{1}{x})|x\in(0,1]\}$ 被称为拓扑学家的正弦曲线， $T=\{0\}\times[-1,1]$ 令 $S_1=S\cup T$ 那么 $S_1$ 在属于 $S$ 的每一个点处是局部连通的，而在 $T$ 每一个点都不是局部连通的，因此，尽管 $S_1$ 连通，但却不是局部连通。
$T_4$ 空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集。
连续映射将连通空间映射到连通空间
连通空间的积空间还是连通的
连通空间有介值定理、不动点定理
连续开映射将局部连通映射到局部连通
局部连通的积空间仍为局部连通
道路连通在连续映射下道路连通
道路连通积空间道路连通
任何一个连通开集都是道路连通的
离散性、平庸性都是可遗传性质，但连通性不是，局部连通性虽不可遗传，但对开子空间可遗传。
满足第二可数公理空间的积空间仍满足第二可数。
Lindelof性质不可遗传，对于闭子空间可遗传。
紧致空间积空间仍为紧致