笛卡尔与解析几何

笛卡尔 (图片来自网络)

      解析几何，又叫坐标几何，或笛卡尔几何，是运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题的一门数学。通常，使用二维或三维的直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系。

      1637年，笛卡尔在其著作《方法论》的三篇附录之一“几何学”中提出了解析几何的基本方法。这种方法对几何学来说是革命性的。首先，使用代数技巧来解决几何问题，这意味着数与形统一起来了，代数方法与几何方法第一次真正结合了。其次，数学家们有了一种选择，可以将几何学视为代数学的一个分支了。而这个革命性的新进路据说是由一只苍蝇引发的灵感，这则轶事在齐斯·德福林的《数学的语言》一书中有记载。

      众所周知，笛卡尔身体虚弱，容易生病，非常喜欢躺在床上。1619那个寒冷的冬季，对数学兴趣正浓的笛卡尔，躺在床上翻来覆去地思考问题时，一只在天花板上爬行的苍蝇引起了他的注意。注视着这只苍蝇爬来爬去，笛卡尔领悟到它在任一时刻的位置，都可以用它那一时刻与两面垂直墙面的距离来确定。就这样笛卡尔找到了用代数方程描述苍蝇的爬行路径的方法，同时也找到了一种表现直线和曲线的新方法。这种代数方法，虽然完全不同于古希腊人所提出的几何论证，但却不会将几何研究变成代数课题，也就是说结果依然是几何，只不过是利用代数技巧来研究形状的模式而已。

       我们知道，科学主要是通过替代来发展，而数学主要通过沉淀而成长，但解析几何的建立虽然也是站在巨人的肩膀上，不过这些巨人距离笛卡尔的时代有些远，正如博耶教授所说：“乃是由一次试图回归过去的努力所激发的。”要记得，《几何学》只是笛卡尔的《方法论》中的一篇附录。而笛卡尔最重要的影响，除了建立了解析几何，就是对方法论的反思了。

      在17世纪那个新旧知识交替的时代，为了在一片混乱中求得确定性，笛卡尔开启了“普遍怀疑”的模式，并把目光转向了他所擅长的数学。笛卡尔想要建立一种普遍数学，把代数、几何、算术统一起来。正是在这种“追本溯源”的“普遍”模式下，笛卡尔注意到了帕普斯的三线或四线轨迹问题。所谓的“三线或四线轨迹问题”也就是说，给定一个平面上的三条直线（或四条直线），求出点P的轨迹，它与其中一条直线的距离跟它与另外两条直线的距离之积成比例（或者，在四条直线的情况下，它与其中两条直线的距离之积跟它与另外两条直线的距离之积成比例）。其实，三线或四线轨迹不仅充当了发明解析几何的起跑点，而且，从欧几里得到牛顿，它都在数学中扮演了一个重要的角色。

图片来自《数学史》

      虽然笛卡尔建立了解析几何，但解析几何的迅速发展却主要是通过荷兰的数学家——弗兰斯·范·斯霍滕（1615-1660）——及其他的弟子才得以发生的。笛卡尔的《几何学》最初是用法文，而不是当时学者的通用语言拉丁文写成的，虽然一切有学问的人都可以通读，但是要知道，笛卡尔是天才，他无法体会别人在理解他那些新且深奥的思想上所遇到的困难，尤其是他的阐述并不清晰。当斯霍滕在1649年出版拉丁文版的《几何学》，并加入了一些补充材料，这些障碍才被克服。另外，斯霍滕的两卷本的《笛卡尔的几何学》在1659-1661年出版，内容上有了极大的扩充，其中收录了著名的荷兰省三级议会大议长让·德·维特（1629-1672）在1658年撰写的《曲线原理》。这是一部对解析几何贡献非常广泛的作品。“作品的目的是要通过坐标轴的平移和旋转，把所有以x和 y 为未知数的二次方程简化为公认的形式。他知道如何根据所谓的判别式究竟是负数、是零，还是正数，来识别这样一个方程所描绘的曲线是何时是一个椭圆、抛物线、双曲线。”（《代数史》 P403）

      其实，笛卡尔阐述不清晰的不仅是解析几何，还有“身心二元论”。正如苏炳森老师所说，这是笛卡尔给我们带来的“第二个灾难”。苏老师说“虽然笛卡尔给人的感觉是上帝中心论，认为上帝是一切知识的保障，但他方法的开端是“我思”，也就是说从一开始人就是中心。尽管笛卡尔是天主教的背景，把上帝放在第一位，但他已经开启了人的优先性，所以，其本质上还是自然神学，得出的还是一种单纯的、不变的、抽象的、思维上的上帝，与托马斯·阿奎那差不多。”所以，就像德国神学家潘能伯格所说，笛卡尔就成了“一种人类中心主义的、建立在“我思”之上的哲学的创始人。” （ 《神学与哲学》 P174）

      另外，笛卡尔给人类带来的第一个灾难就是他的数学性的方法论。帕斯卡尔曾抨击笛卡尔的数理逻辑，斥之为冷冰冰的，仅仅适合于“几何人”。有趣的是帕斯卡尔也是一位数学天才，12岁时就表现出了非凡的几何才能，16岁就发表了《略论圆锥曲线》，这本小册子仅一页，但却是历史上最富有成果的书页之一。但是在他30岁时，帕斯卡尔经历了一次宗教狂喜，就放弃了科学和数学，转向神学，并写出了《乡巴佬书信》和《思想录》。

图片来自《数学大迷思》

      的确，逻辑是比较确定的个人性思考，数理逻辑就更强调简单和清晰，如果用于数学上是很好的，比如四维及以上维度图形的数学研究。就像《数学的语言》一书中所说，在心灵中从一个三维模型重建一个四维图形是非常困难的，要得到像超立方体等四维及以上物体的数据，你就不得不放弃可视化的企图，而最可靠的方法是使用坐标代数。当然这不只是一个智力游戏，它在现实世界有很好地应用的。像今日工业中广泛使用的计算机程序，就是这种研究的直接结果。但是，一旦把这种数理逻辑推而广之，就危险了，毕竟自然万物给我们的意象并不是简单的，清晰的，反而是丰富多彩的，里面更多的是一种审美的，诗性的韵律。而笛卡尔的方法论恰恰就是要用这种数理逻辑取代古典的语文性的文法逻辑和修辞。由此，就像苏老师所说，教育的败坏就开始了。在教育中，将一切简单清晰化，其实就是把一切美的东西剥掉了，而与之同被弃掉的还有上帝的荣耀和爱。久而久之，我们所教出的学生就成了路易斯所说的“无胸之人”。