机器博弈 (二) 遗憾最小化算法

2020-01-31 本文已影响0人小小何先生

现代的博弈论快速与人工智能进行结合，形成了以数据驱动的博弈论新的框架。博弈论与计算机科学的交叉领域非常多，有以下几个方面：

人工智能与博弈论结合，形成了两个主要研究方向：1. 博弈策略的求解；2. 博弈规则的设计。

博弈论提供了许多问题的数学模型。纳什定理确定了博弈过程问题存在解。人工智能的方法可以用来求解均衡局面或者最优策略。

主要研究的问题就是：如何高效求解博弈参与者的策略以及博弈的均衡局势。

其应用领域主要有：

遗憾最小化算法(Regret Minimization)：

我们对遗憾最优化算法(RM)中符号做若干定义：

假设一共有 $N$ 个玩家。玩家 $i$ 所采用的策略表示为 $\sigma_{i}$ 。
对于每个信息集 $I_{i} \in \xi_{i}$ ， $\sigma_{i}(I_{i})：A(I_{i}) \rightarrow [0,1]$ 是在动作集 $A(I_{i})$ 上的概率分布函数。玩家 $i$ 的策略空间用 $\sum_{i}$ 表示。
一个策略组包含所有玩家策略，用 $\sigma =(\sigma_{1}$ , $\sigma_{2}$ , $\cdots$ , $\sigma_{|N|})$ 。
$\sigma_{-i}$ 表示 $\sigma$ 中除了 $\sigma_{i}$ 之外的策略(即除去玩家 $i$ 所采用的策略)。
在博弈对决中，不同玩家在不同时刻会采取相应策略以及行动。策略 $\sigma$ 下对应的动作序列 $h$ 发生概率表示为 $\pi^{\sigma}(h)$ 。于是， $\pi^{\sigma}(h)=\prod_{i \in N} \pi_{i}^{\sigma}(h)$ ，这里 $\pi_{i}^{\sigma}(h)$ 表示玩家 $i$ 使用策略 $\sigma_{i}$ 促使行动序列 $h$ 发生的概率。除玩家 $i$ 以外，其他玩家通过各自策略促使行动序列 $h$ 发生的概率可表示为： $\pi_{-i}^{\sigma}(h)=\prod_{i \in N \ / \{i\}} \pi_{j}^{\sigma}(h)$ 。
对于每个玩家 $i \in N$ ， $u_{i}：Z \rightarrow R$ 表示玩家 $i$ 的收益函数，即在到达终止序列集合 $Z$ 中某个终止序列时，玩家 $i$ 所得到的收益。
玩家 $i$ 在给定策略 $\sigma$ 下所能得到的期望收益可如下计算： $u_{i}(\sigma)=\sum_{h \in Z}u_{i}(h)\pi^{\sigma}(h)$ 。

我们来看一下遗憾最小化算法下的最佳反应策略和纳什均衡。

$u_{i}(\sigma_{i}^{*},\sigma_{-i}) \geq max_{\sigma_{i}^{'}\in \sum_{i}} u_{i}(\sigma_{i}^{'},\sigma_{-i})$

即玩家 $i$ 采用其它策略获得的收益小于采用最佳策略所能获得的收益。(这里其它玩家策略保持不变。)

在策略组 $\sigma$ 中，如果每个玩家的策略相对于其他玩家的策略而言都是最佳反应策略，那么策略组 $\sigma$ 就是一个纳什均衡(Nash equilibrium)策略。

纳什均衡：策略组 $\sigma =(\sigma_{1}^{*}$ , $\sigma_{2}^{*}$ , $\cdots$ , $\sigma_{|N|}^{*})$ 是纳什均衡当且仅当对每个玩家 $i \in N$ ，满足如下条件：

$u_{i}(\sigma) \geq max_{\sigma_{i}^{'}} u_{i}(\sigma_{i}^{*},\sigma_{2}^{*}, \cdots , \sigma_{i}^{'}, \cdots, \sigma_{|N|}^{*})$

$\varepsilon$ -纳什均衡：
- 对于给定的正实数 $\varepsilon$ ，策略组 $\sigma$ 是 $\varepsilon$ -纳什均衡当且仅当对于每个玩家 $i \in N$ ，满足如下条件：
  $u_{i}(\sigma) + \varepsilon \geq max_{\sigma_{i}^{'} \in \sum_{i}}u_{i}(\sigma_{i}^{'},\sigma_{-i})$
平均遗憾值(average overall regret)：假设博弈能够重复地进行(如围棋等)，令第 $t$ 次博弈时的策略组为 $\sigma^{t}$ ，若博弈已经进行了 $M$ 次，则这 $M$ 次博弈对于玩家 $i \in N$ 的平均遗憾值定义为：

$\overline{Regret_{i}^{M}} = \frac{1}{M}max_{\sigma_{i}^{*} \in \sum_{i}}\sum_{i=1}^{M}(u_{i}(\sigma_{i}^{*},\sigma_{-i}^{t})-u_{i}(\sigma^{t}))$

$Regret_{i}^{T}(\sigma_{i})=\sum_{t=1}^{T}(\mu_{i}(\sigma_{i},\sigma_{-i}^{t})-\mu_{i}(\sigma^{t}))$

通常遗憾值为负数的策略被认定为不能提升下一时刻收益，所以这里考虑的遗憾值均为正数或0；
计算得到玩家 $i$ 在第 $T$ 轮次采取策略 $\sigma_{i}$ 的遗憾值后，在第 $T+1$ 轮次玩家 $i$ 选择策略 $a$ 的概率如下(悔值越大、越选择，即亡羊补牢)：

$P(a) = \frac{Regret_{i}^{T}(a)}{\sum_{b \in {所有可能选择策略}}Regret_{i}^{T}(b)}$

假设两个玩家 $A$ 和 $B$ 进行石头-剪刀-布(Rock-Paper-Scissors，RPS)的游戏，获胜玩家收益为1分，失败玩家收益为-1分，平局则两个玩家收益均为零分。
第一局时，若玩家 $A$ 出石头( $R$ )，玩家 $B$ 出布( $P$ )，则此时玩家 $A$ 的收益 $\mu_{A}(R,P)=-1$ ，玩家 $B$ 的收益为 $\mu_{B}(P,R)=1$ 。
对于玩家 $A$ 来说，在玩家 $B$ 出布( $P$ )这个策略情况下，如果玩家 $A$ 选择出布( $P$ )或者剪刀( $S$ )，则玩家 $A$ 对应的收益值 $\mu_{A}(P,P)=0$ 或者 $\mu_{A}(S,P)=1$ 。
所以第一局之后，玩家 $A$ 没有出布的遗憾值为：

$\mu_{A}(P,P)-\mu_{A}(R,P)=0 -(-1)=1$ ，

没有出剪刀的遗憾值为：

$\mu_{A}(S,P)-\mu_{A}(R,P)=1-(-1)=2$ 。

所以在第二局中，玩家 $A$ 选择石头、剪刀和布这三个策略的概率分别为0、2/3、1/3。因此，玩家 $A$ 趋向于在第二局中选择出剪刀这个策略。
在第一轮中，玩家 $A$ 选择石头和玩家 $B$ 选择布、在第二局中玩家 $A$ 选择剪刀和玩家 $B$ 选择石头情况下，则玩家 $A$ 每一轮遗憾值及第二轮后的累加遗憾取值如下：

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