如何解分段函数中的求值问题？

2020-07-06 本文已影响0人天马无空

分段函数中的求值问题

解题步骤：

第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；

第二步通过运算、变形，利用对数运用、指数运算等，将问题转化为对数型方程、指数型方程等类型加以求解；

第三步得出结论.

【例】已知函数 $f(x)=\begin{cases}2x+a,&x \leqslant1 \\\text{log}_2 x,&x>1\end{cases}$ ，若 $f\left(f\left(\dfrac{1}{2} \right)\right)=4$ ，则 $a=$ （）

A． $16$ B． $15$ C． $2$ D． $\dfrac{2}{3}$

【解析】

依题意有 $f\left(\dfrac{1}{2} \right)=1+a$

当 $1+a \leqslant 1$ 即 $a \leqslant 0$ 时，

$f\left(f\left(\dfrac{1}{2} \right)\right)=f\left(1+a \right)=3a+2=4$ ，

解得 $a=\dfrac{2}{3}>0$ ，不成立；

当 $1+a > 1$ 即 $a > 0$ 时，

$f\left(f\left(\dfrac{1}{2} \right)\right)=f\left(1+a \right)=\text{log}_2(1+a)=4$ ，

解得 $a=15>0$ ，成立

所以，选B

【点评】
本题考查了分段函数的求值问题，以对数函数和一次函数为载体，渗透了分类讨论的思想，考查了基本运算能力和分类思想的培养.