工具变量原理

在做回归时，很多时候会有的情况，这也意味着不满足外生性条件，此时的OLS估计量就不再满足无偏性，并且随着的变大，它的bias也无法变小。若对此无法理解，请先掌握《小样本OLS回归梳理》中的内容。

此时该怎么办？一种解决方法是利用一些与无关的变量，这就是工具变量（instrumental variables，下文统称IV）。我们假设找到的IV是一些的向量，再将它排成的矩阵。

IV需要与原来的足够接近，因此（为矩阵）必须满列秩。而我们寻找IV的目的，就是要让IV满足，由数据生成过程可知，我们要求解的就是满足的。

我们无法知道和，但可以用样本矩代替，即

上面的方程，若，则有多个解，若且非奇异，则有唯一解，若，无解。在经济学理论中，往往会出现的情形，此时尽管方程无解，但我们依旧可以寻找，使尽可能接近。

我们可以定义一个和之间的二次距离：

其中是一个的正定范数矩阵（positive definite norming matrix），它可以是随机矩阵。这里之所以选择二次距离，是因为这样在求解最优化问题时比较方便，可以直接写出一阶条件：

假设非奇异，就可以得到IV估计量

只要选择和，就可以得到各种计量经济学中的估计量。比如选择和，那么就变成了OLS估计量。而选择，就得到了2SLS（two-stage least squares）估计量。

IV估计量是无偏的吗？在数据生成过程下，有

事实上，上式的第二项我们没有理由保证它为，哪怕有也无法保证。但在假设、（为有限满列秩矩阵）以及（为有限正定矩阵）之后，可以得到比无偏性更弱的一致性：。