扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法用来在已知和的情况下，求等式的一组可行解，该算法思路如下：

1. 若，则有，是一组可行解
2. 若，则设递归求等式的一组可行解。设求得的可行解为，则有。又，且，故有。则，为原等式的一组可行解。

扩展欧几里德算法的实现代码如下：

int ex_gcd(int a, int b, int & x, int & y){
    // ax + by = gcd(a,b) = r
    if(!b){
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int r = ex_gcd(b, a%b, x, y);
    int t = x; x = y; y = t-a/b*y;
    return r;
}

附上一道练习题：洛谷P1082 同余方程。

解题思路：求关于的同余方程的解，即相当于求的解，又和必定互质，故相当于求的解，可以使用扩展欧几里德算法。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int ex_gcd(int a, int b, int & x, int & y){
    // ax + by = gcd(a,b) = r
    if(!b){
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int r = ex_gcd(b, a%b, x, y);
    int t = x; x = y; y = t-a/b*y;
    return r;
}
int main(){
    int a, b, x, y;
    cin >> a >> b;
    ex_gcd(a, b, x, y);
    cout << (x%b+b)%b << endl;
}