高中数学纲目

对数函数与不等式：2011年理数全国卷题21

2021-11-03 本文已影响0人易水樵

2011年理数全国卷题21

已知函数 $f(x) = \dfrac{a \ln x}{x+1} + \dfrac{b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x+2y-3=0$ .

（Ⅰ）求 $a，b$ 的值；

（Ⅱ）如果当 $x \gt 0$ ，且 $x \ne 1$ 时， $f(x) \gt \dfrac{\ln x}{x-1} + \dfrac{k}{x}$ ，求 $k$ 的取值范围.

【解答问题Ⅰ】

函数 $f(x) = \dfrac{a \ln x}{x+1} + \dfrac{b}{x}$ 的定义域为 $(0,1) \cup (1,+\infty)$ .

$f'(x) = - \dfrac {a \ln x}{(x+1)^2} + \dfrac {a}{x(x+1)} - \dfrac {b}{x^2}$

切线方程可化为： $y = - \dfrac {1}{2} x + \dfrac {3}{2}$

切点坐标为 $(1, 1)$ ；所以

$f(1) = b = 1$

$f'(1) = \dfrac {a}{2} -b = - \dfrac {1}{2}$

解得： $a=1, \; b=1$

【解答问题Ⅱ】

根据前节推导可知： $f(x) = \dfrac{\ln x}{x+1} + \dfrac{1}{x}$

$f(x) \gt \dfrac{\ln x}{x-1} + \dfrac{k}{x}$ 等效于：

$\dfrac{\ln x}{x+1} - \dfrac{\ln x}{x-1} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{k}{x} \gt 0$

又等效于：

$\dfrac {1}{x^2-1} [2 \ln x + (k-1)(x - \dfrac {1}{x} )] \lt 0$

令 $g(x) = 2 \ln x + (k-1)(x - \dfrac {1}{x} )$ , $x \in (0,+\infty)$

$g(1) = 0$

$g'(x) = \dfrac {2}{x} + (k-1)(1+ \dfrac {1}{x^2})$

$g'(x) = (k-1) \dfrac {1}{x^2} + \dfrac {2}{x} + (k-1)$

$g'(x)=(k-1)(\dfrac {1}{x} - \dfrac {1}{k-1})^2 + (k-1) - \dfrac {1}{(k-1)^2}$

(1) 若 $k=0$ , $g'(x) = - (\dfrac {1}{x} -1)^2$

$g'(1) = 0$

当 $x \neq 1, g'(x) \lt 0$ , 函数 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 单调递减，在 $(1, +\infty)$ 单调递减；

当 $0 \lt x \lt 1, g(x) \gt 0$ ;

当 $x \gt 1, g(x) \lt 0$ ;

所以，当 $x \in (0,1) \cup (1,+\infty)$ , $\dfrac {1}{x^2-1} \cdot g(x) \lt 0$

符合要求；

(2) 若 $k \lt 0$ , 当 $x \in (0,1) \cup (1,+\infty)$ , $\dfrac {k}{x} \lt 0$ , 所以

$f(x) \gt \dfrac{\ln x}{x-1} \gt \dfrac{\ln x}{x-1} + \dfrac{k}{x}$

符合要求；

(3) 若 $k \gt 0$ , 当 $\dfrac {1}{1+\sqrt{k}} \lt x \lt 1$ ,

$1+\sqrt{k} \gt \dfrac {1}{x} \gt 1$

$\sqrt{k} \gt \dfrac {1}{x} -1 \gt 0$

$k \gt (\dfrac {1}{x} -1)^2$

$- (\dfrac {1}{x} -1)^2 + k \gt 0$

$1 + \dfrac {1}{x^2} \gt 1$

所以，当 $\dfrac {1}{1+\sqrt{k}} \lt x \lt 1$ ,

$g'(x) = - (\dfrac {1}{x} -1)^2 + k (1 + \dfrac {1}{x^2}) \gt 0$

函数 $g(x)$ 单调递增，而 $g(1)=0$

∴ $g(x) \lt 0$

$\dfrac {1}{x^2-1} \cdot g(x) \gt 0$

不合要求.

综上所述，满足要求的 $k$ 的取值范围为 $(-\infty,0\,]$ .

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