换个姿势学数学

换个姿势学数学：幂是个什么鬼？

2019-02-23 本文已影响132人 d61f25068828

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复数就暂时谈到这里，言归正传我们开始继续谈函数。

第一个要谈的是“幂函数”，它是最简单的“基本初等函数”，之后谈“幂函数”的逆运算：“求指数”和“求底数”。

同鞋：纳尼?什么叫做“幂”?我完全给忘掉了。

老湿：那我们就先从“幂”谈起好了。。。

老湿

幂是个什么鬼?

不是翻译的锅

我们经常可以看到这种形式的式子 $c=a^b$ 。

$a$ 叫做 $底数$ ，这个很好理解，“在底下的数”。 $b$ 叫做 $指数$ ，指数是什么意思呢?意思就是，“在上面的数”。

指：直立；竖起。《鸿门宴》：“头发上指，目眦尽裂。”-《古汉语词典》

你可能觉得非常Low，但是没办法，因为这种运算非常抽象，出现的也很晚，很难找到一个简洁的现实对应物。

并不是翻译的问题，其实在英语中本来就是这个意思。

幂运算

在英文中 $指数$ 叫做 $exponent$ ，字面上(词根)理解就是“放在右上角的”。

还有一种表示方法是 $index$ ，也就是“序号”；当然还有用 $power$ 的，我猜之所以这么用，可能是因为“幂运算”比乘法更强，所以更有 $power$ ?

这个稍微有新意一点，但用的好像也并不多，主要还是用 $exponent$ (指数)，据说这个词是笛卡尔造的。

毫无新意的命名

➣那话说回来，幂是什么意思?

“幂”就是 $c=a^b$ 中的c，也就是”幂运算“的结果.

其实也是表示位置关系，“幂”在古代的意思，就是“盖着方巾”，从位置方面描述就是“上面有个东西”。

“幂运算”就是在某数字上面“盖一个数字”。

共巾可以覆物。祭祀以疏布巾冪八尊，以畫布巾冪八彝。-《康熙字典》

➣为什么也叫做“方”？

这个可能就有点类似于“power”了，是一种表意，而不是表位置。

“方”的意思是“一块地”，因为最早最常用的幂运算就是 $2次$ 的，就是用来计算“面积”的，这个非常好理解。

所以，“方”和“幂”是一个意思，只是命名逻辑不同的。

$2^2$ 可以叫做 “ $2$ 的 $2$ 次幂”，也可以叫做“ $2$ 的 $2$ 次方”。

<名> 方形，与 “圆” 相对。《促织》：“形若土狗，梅花翅，方首，长颈。” -《古汉语词典》

到底什么是幂函数？

幂函数就是 $y=x^a$ 这种形式的函数。

➣为什么不是 $y=a^x$ ？

其实这也是一个函数

$c=a^b$ 这个式子，如果把其中的两个值分别变成 $x$ (参数)和 $y$ (输出值)，那么它就变成一个函数。

很显然，从这种式子中可以演化出三种函数：“幂函数”，“指数函数”，“对数函数”，它们互为逆运算。

之所以幂函数是幂函数是 $y=x^a$ 而不是 $y=a^x$ ，就是因为这个函数，在生活中最常见。

前面提到过，计算“幂”的需求，来源于计算“方”，也就是面积，所以在最初的时候就是固定的， $a=2$ 。

在古代，只要种地就会用到这种计算，所以这个好名字就先被他给占了。

$y=a^x$ 也是幂运算，但就没法用这个名字，只能用 $指数函数$ ，也就是用函数的 $参数$ 来命名，从这个意义上来讲 $幂函数$ 也可以叫 $底数函数$ 。

为什么要学习幂函数？

之前说过，所有的初等函数，都是由基本初等函数，经过运算得来的。

幂函数又是“基本初等函数”中最简单的，自然要从这里开始学起。

幂函数之前好像谈过，为什么还说呢?

之前谈的其实都是“非负次幂整数”的幂函数，也就是当 $a∈N$ 的情况。

现在我们要谈的是非自然的抽象情况，扩展两次，首先是扩展到 $Z$ ，也就是加入 $负数$ ；之后扩展到 $Q$ ，也就是加入 $分数$ 。

幂运算法则

扩展到负整数

➣ $a<0$ 幂运算的意义是什么呢?

一涉及到负数就很抽象了。

$2^{2}$ 非常好理解，他的意思就是 $2$ 自乘 $2$ 次也就是 $2×2$ 。

但是2自乘负的某次，简直就是不可能的。比如 $2^{-1}$ ，这到底是什么意思呢?

所以，扩展到负数之后，就没有一个很直观的解释。

探索新的运算规则，最重要的是考虑兼容性，那我们就单纯从运算来解释 $a<0$ 幂运算。

从兼容性考虑意义

➣幂运算的规则是什么?

最显而易见的规则其实是乘法和除法，因为幂运算本身就是 $自乘$ ， $2^2·2^2$ 就等于 $2^4$ ，乘法就是“指数相加”；反之，除法是“指数相减”。

“减法”和“负”是一回事，那么 $a<0$ 的意思很可能就是除法。

可以用简单的具体例子来验证一下：

$2^1×2^{-1}=2^1÷2^{1}=2^0=1$
$2^2×2^{-1}=2^2÷2^{1}=2^1=2$

的确是没问题的。

为什么 $a^0=1$ ？

余先生在知乎上的回答

余先生的回答，我不赞同，因为太复杂。[1]

$a^0=1$ 是非常自然的推论，不需要花费这么多笔墨。

因为， $a^0×a^n$ = $a^{0+n}$ = $a^{n}$ ，所以为了兼容乘法和幂运算的规则， $a^0$ 只能是 $1$ 。

幂函数的性质

之所以先讲“幂函数”，也是因为之前，其实我们一直都在接触，所以大部分的性质我们已经知道了。

这里我贴一下教辅上的图片。

幂函数性质

以前没有说过的，主要就是指数为分数时( $a∈Q$ )的图像。

$y=x^{\frac{1}{2}}$

这就是二次函数的反函数，也就是把二次函数的 $x$ 和 $y$ 互换。

如果限制 $y∈R$ ，那么定义域是 $x>=0$ 。

二次函数的图像是个抛物线，把这个图像转个角度，自然还是抛物线。

二次函数和其反函数

$y=x^{\frac{1}{3}}$

三次函数的反函数。

三次函数的反函数

$y=x^{-\frac{1}{2}}$

根据上面谈到的运算法则，可以把它改写为 $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 。

它可以看成是一个正比例函数和 $y=x^{\frac{1}{2}}$ 的复合函数。

限制 $y∈R$ 。因为正比例函数要求 $x≠0$ ， $y=x^{\frac{1}{2}}$ 要求 $x>=0$ ，复合函数的定义域是两个集合的并集。

所以就是 $x>0$ 。

函数的复合

注释

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作者信息

我是心如止水，欢迎你和我换个姿势学数学。

心如止水：阅读思考践行

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