R 的 prcomp() 和 Python 的 PCA() 的区

1. 数据标准化

• R 的 prcomp()：
  a. 默认对数据进行中心化(减去均值)
  b. 可以通过 scale=TRUE 参数对数据进行标准化(除以标准差)

prcomp(x, retx = TRUE, center = TRUE, scale. = FALSE,
       tol = NULL, rank. = NULL, ...)

• Python 的 PCA()：
  a. 默认不进行数据标准化，需要手动使用 StandardScaler() 进行标准化

class sklearn.decomposition.PCA(n_components=None, *, copy=True, whiten=False, svd_solver='auto', tol=0.0, iterated_power='auto', n_oversamples=10, power_iteration_normalizer='auto', random_state=None)

# example
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.decomposition import PCA
data_scaled = StandardScaler.fit_transform(data)
pca_result = pca.fit_transform(data_scaled)

2. 输出结果

• R 的 prcomp() 返回一个 prcomp 对象，包含以下组件：
  x：如果 retx=TRUE，返回旋转后的数据（中心化(和标准化)的数据乘以 rotation 矩阵）
  rotation：变量负载矩阵（即一个其列包含特征向量的矩阵）
  sdev：主成分的标准差，也就是协方差/相关性矩阵的特征向量的平方根，尽管实际计算是用数据矩阵的奇异值完成的
  center，scale：使用的中心化和标准化，或 FALSE
• Python 的 PCA() 返回一个 PCA 对象，主要包含以下属性：
  components_：shape=(n_componets, n_features)，特征空间的主轴，表示数据中最大方差的方向。等价于中心化的输入数据的右奇异向量，平行于它的特征向量。成分以降序的 explained_variance_ 排列。
  explained_variance_：由每个被选择的组分解释的方差，方差估计使用 n_samples -1 的自由度。等于 X 的协方差矩阵的 n_componets 个最大特征向量。
  explained_variance_ratio_：由每个选择的组分解释的方差的百分比（方差贡献率）。如果 n_components 没有被设置，将保留所有成分且其和等于 1.0
  singular_values_：每个被选择的组分的奇异值，奇异值等于低维空间中 n_components 变量的 2-norms
  mean_：数据的均值（中心化参数）
  n_componets_：实际保留的主成分数量
  3. 主成分数量
• R 的 prcomp() 默认保留所有可能的主成分（最多为特征数量），可以通过 rank. 参数指定保留的主成分数量
• Python 的 PCA() 默认保留所有可能的主成分，最多为 min(n_samples, n_features)，可通过 n_components 参数指定保留的主成分数量

两种方法的结果比较
这两种方法生成的降维矩阵有略微的差别，主要是因为 R 在对数据进行标准化时用的是无偏的样本标准差，StandardScaler() 用的是有偏的总体标准差，相当于 numpy.std(x, ddof=0)，但 ddof 的选择不太可能影响模型性能。

代码参考