离散贝叶斯过滤器(1)

离散贝叶斯过滤器

Kalman 滤波器属于贝叶斯滤波器家族一个成员。大多数教科书上，都将 Kalman 滤波器看作 Bayesian 公式的一种表现，但是解释如何将贝叶斯公式应用到 Kalman 滤波等式的方式因为过于抽象，所以晦涩难懂。

这种方式读者对数学的几个领域有相当深刻的理解，而且还把许多理解和形成对情况的直观把握交给了读者。

今天我们这将用另一种方式来解释这个问题，这归功于迪特·福克斯和塞巴斯蒂安·特伦的工作。使用贝叶斯统计来追踪通过走廊的目标，这种方式比较直觉，可以用机器人，不过这里用狗来代替机器人。小狗要比机器人更难预测，这给滤波器预测带来一定难度。能找到的第一个公开的例子似乎在 fox1999[1]，在 fox2003[2]中有一个更完整的例子。

现在让我们用一个简单的思考实验，就像我们对g-h滤波器所做的那样，来看看我们如何推理使用概率来过滤和跟踪。

跟踪小狗

让我们从一个简单的问题开始。假设在空间中有一条小狗，所以有人会将自己小狗带去工作。偶尔，狗会走出办公室，在大厅里走来走去。我们想追踪他们。所以在一次黑客竞赛中，有人发明了一个声纳传感器来连接狗的项圈。项圈发出信号，通过监听回声，然后计算回声的速度，我们可以判断狗是否停留某一个门前。还可以感知狗何时离开，传输告狗向哪个方向移动。通过wifi 连接到网络，每秒发送一次更新。

将跟踪设备给小狗配套上，接下里使用 Python 来准备编写代码来跟踪小狗如何穿过。乍一看，脸红可能看起来不可能。如果我开始监听小狗佩戴的传感器，我可能会读门，大厅，大厅等等。接下来看一看如何使用这些信息来确定小狗在哪里？

可以将问题简化，以便于绘图，假设走廊中只有 10 个位置，用数字从 0 到 9 表示，其中 1 在 0 的右侧，出于稍后将明确的原因，还将假定走廊是圆形或矩形的。如果你从位置9向右移动，你将处于位置0。

开始监听传感器，仅凭监听器还无法没有理由确定小狗在走廊的位置。小狗出现走廊在任何的位置上可能性都是一样的。有10个位置，所以小狗出现任何位置的概率都是 1/10。

import numpy as np
belief = np.array([1/10]*10)
print(belief)

[0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1]

在贝叶斯统计学中。将测量或其他信息和先验整合的概率。准确地说，这叫做先验概率分布。概率分布是一个事件所有可能概率的集合，概率分布总是和为 1，概率分布列出了所有可能的事件和每一个事件发生的概率。

大家可能都接触过概率，比如“今天下雨的概率是30%”。贝叶斯统计学是概率论的重要改进，因为贝叶斯统计学把概率看作是对某个事件的一种信念。让我们举个例子，如果不断反复地掷一个硬币，就会得到 50% 的正面和 50% 的反面。这是大家熟悉频率统计量，与贝叶斯统计不同，计算是基于事件发生的频率。

再做一次掷硬币实验。相信这件事是从哪个方向降落的？经常光顾的概率对此没什么可说的，它只会说 50% 的硬币会以人头的形式抛掷土地。在某些方面，给硬币的当前状态分配一个概率是没有意义的。要么是正面的，要么是反面的，我们只是不知道是哪面会朝上。Bayes 把这看作是一个关于某个事件的信念—信念或知识的力量，认为这个硬币掷硬币是正面朝上的 50%。

天气预报就是贝叶斯经验， 贝叶斯统计考虑了过去的信息（先验）。我们观察到每 100 天下 4 次雨。由此看来，明天下雨的可能性是 1/25。天气预报不是这样做的。如果我知道今天下雨，明天很可能会下雨。天气预报是贝叶斯的。

在实践中，统计学家频率专家和贝叶斯技术。有时很难得到先验信息是困难，利用统计也是无法获取到，。在这本书中我可以得到一些经验(先验)。谈论某件事发生的概率时，通常会根据我们经验，以及之前你对这件事了解程度而得出先验概率，这就是采用贝叶斯方法。

现在让我们创建走廊的地图。我们将把前两个门放在一起，然后再把另一个门距离稍远的位置。用 1 表示门，用 0 表示墙：采用贝叶斯方法。

开始监听，西蒙在网络上的传输，我从传感器得到的第一个数据是门。暂时假设传感器总是返回正确的答案。但是仅凭数据还无法确定具体是哪一个扇门，无法确定他就在第一、第二或第三扇门前面。每个门都有我能做的事。所有的门都有相同的可能性，其中有三个，所以我给每个门指定1/3的概率。

import kf_book.book_plots as book_plots
from kf_book.book_plots import figsize, set_figsize
import matplotlib.pyplot as plt

belief = np.array([1/3, 1/3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/3, 0])
book_plots.bar_plot(belief)