量子序曲3：太阳帝国

在物理中我们经常会碰到很大的数或很小的数，比如整个宇宙中质子的数目就是个很大的数，这个数字是大约$10^{{80}$，我们不管这个数字是怎么来的，先来理解$10}{80}$是什么意思。

$10^{1$就是10，即1后面有1个零，$10}{80}$就是1后面有80个零，如果老老实实全写出来的话，得写四行，而$10^{80}$就很简短。它暗含的意思是甭管多大，它反正是个有限的数，我们很容易相像比它再大是个什么概念，比如2倍就是再乘以个2。

在物理中常见的比较大的数还有阿佛加德罗常数，一般记做$N_A$，它表示的是常温常压下22.4升氢气里面氢气分子的个数。

\begin{equation}
N_A = 6.02 \times 10^{23}
\end{equation}

这个数大概是6后面再跟23个0，很大很大。我们管$N_A$个氢气分子叫做1摩尔氢气分子，类似地$N_A$个电子就是1摩尔电子，摩尔在化学里面经常用。

1升是容积单位，相当于是1立方分米，就是长宽高各1分米（即0.1米）所包围的体积。22.4升相当于0.0224立方米，我们也常常把它改写为: $2.24 \times 10^{-2}$立方米。

这个也是科学计数法，$10^{-1} = 0.1$，表示10分之1，1的前面有1个0，$10^{-2} = 0.01$，表示百分之一，1的前面有两个0，……$10^{{-100}$，表示$10}{100}$分之一，1的前面有100个0。

现在我们来估算在常温常压下，每个氢气分子平均占多少体积：

我们需要用0.0224立方米除以阿佛加德罗常数（$N_A$），结果是$3.72 \times 10^{{-26}$立方米，这是个很小的数，$10}{-26}$表示$10^{26}$分之一，或在1的前面有26个0。

如果把$3.72 \times 10^{-26} (m^3)$看作是个小立方体，它的边长就是体积的开立方根：

\begin{equation}
( 3.72 \times 10^{-26} )^{\frac{1}{3}} = (37.2 \times 10^{-27}){\frac{1}{3}}
\end{equation}

立方根的英文是cube root，我们只要在谷歌浏览器里键入：“cube root 37.2”，就能得到结果：3.338，因此：

\begin{equation}
( 3.72 \times 10^{-26} )^{\frac{1}{3}} = (37.2 \times 10^{-27}){\frac{1}{3}} = 3.338 \times 10^{-9} (m)
\end{equation}

结果是$10^{{-9}$米，$10}{-9} m$也叫1纳米，即1米的$10^9$分之一。这个计算说明，常温常压下每个气体分子大致占据边长为3.3纳米见方的空间。换句话说分子和分子之间的平均距离是大约3.3纳米。

3.3纳米当然很小，但这毕竟是物质以气态存在时分子间的平均距离。我们还可以估算物质以固态存在时原子间的平均距离，这个距离更小，小到约$10^{{-10}$米，即1米的$10}{10}$分之一，我们管$10^{-10} m$叫1埃。

常见的长度单位有：

• 1公里 或 1千米（$km$）= $10^3$ 米
• 1米（$m$）= $10^0$ 米
• 1分米（$dm$）= $10^{-1}$ 米
• 1厘米（$cm$）= $10^{-2}$ 米
• 1毫米（$mm$）= $10^{-3}$ 米
• 1微米（$\mu m$）= $10^{-6}$ 米
• 1纳米（$nm$）= $10^{-9}$ 米
• 1埃（$\overset{\circ}{A}$）= $10^{-10}$ 米
• 1飞米（$fm$）= $10^{-15}$ 米

关于长度我们还可作如下讨论：

• 1米是长度的主单位，它和我们人自身的尺度相当。

• $0.1$毫米是人肉眼可清晰分辨的极限，我们在30厘米附近看东西，能够分辨的两个物体的最小间距是大约$0.1$毫米，再小两个东西就要融为一体了。这个数值我们可以根据光学里的分辨本领公式进行估算。

角分辨本领公式：$\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$。

$\theta$是角分辨本领，即可以分辨的最小张角，$\lambda$是光波波长，因为眼睛是通过接受可见光信号来感知事物的，这里我们取光波波长为$550 nm$，$D$是瞳孔大小，只有射到瞳孔上的光才是有效的，我们取$D$为2mm。

\begin{equation}
1.22 \times \frac{550 \times 10^{-9} }{2 \times 10^{-3}} = 3.36 \times 10^{-4}
\end{equation}

人眼的明视距离是大约30cm，即我们在30cm左右看近处的东西最舒服。$\theta$是张角，我们用$\theta$再乘以明视距离就可获得人肉眼的分辨本领了。

\begin{equation}
3.36 \times 10^{-4} \times 0.3 \approx 1 \times 10^{-4} (m)
\end{equation}

$10^{-4}$米就是0.1毫米，人肉眼分辨的极限是0.1毫米，想看清更小的东西就必须借助显微镜了。

• 光波波长的范围是350-770纳米。即略小于1微米，或$10^{-6}$米。

• 芯片制造技艺在最近20年进步很快，从0.5微米、0.35微米、0.25微米、0.18微米、0.15微米、0.13微米、90纳米一直发展到目前最新的65纳米，45纳米和30纳米。即大致相当于几百个原子一个一个挨着的距离。

• 1埃，或$10^{-10}$米，1埃是原子的尺寸，比如氢原子处于基态时的半径就是大约1埃。

• 1飞米，或$10^{{-15}$米，是原子核的尺寸，从$10}{-10}$米原子的大小，一下减到$10^{-15}$米原子核的大小，说明原子很空。就像是大学校园里飞的一只小苍蝇。

这里罗列的长度都是比较短的，还有长的，比如地球的尺寸，地球到太阳的距离（1个天文单位，记作1AU），银河系的尺寸，乃至整个宇宙的尺寸等等。

• 珠穆朗玛峰 = 8848米（大约$10^4$米）
• 地球半径 = 6400公里
• 地球到月球距离 = $3.84 \times 10^5$公里
• 1个天文单位 = $1.5 \times 10^8$ 公里
• 太阳到最近恒星的距离 = 4.22光年（Light year）
• 银河系直径 = $1.0 \times 10^5$光年，或10万光年
• 可见宇宙半径 = 138亿光年

光年不是时间单位，而是长度单位，指光在真空中走一年的距离。光速是通讯（信息的有效传递）速度的上限，但并非所有速度的上限，比如宇宙大爆炸的瞬间，宇宙本身膨胀的速度就远远大于光速。

光速$c$是个很大的数字：$3.0 \times 10^8$米每秒。这意味着只需要1秒钟，光就能跑出去30万公里。人的反应时间是大约0.1秒，足够光跑3万公里了，比地球的直径还大。这保证了地球上的任何两个人，无论相距多远，打电话基本感觉不到时间的延迟。

但如果这两个人分别在地球和月球上，就需要将近4秒才能把信号从地球传到月球上。如果说这个时间延迟还能让人接受的话，随着距离的增大这个数字很快将大到无法让人接受。

比如地球和土星的距离是大约10个天文单位，或$1.5 \times 10^{12}$米。地球到土星通讯的时间延迟将是：

\begin{equation}
\frac{1.5 \times 10^{12}}{3.0 \times 10^8 } = 5000(s)
\end{equation}

5000秒，即大约83分，或1小时23分。可以想象如果未来在土星的卫星上有地球人的殖民地的话，假如在那里发生了叛乱，叛乱的消息传回地球母星将至少需要1小时23分。这意味着我们很难建立一个“太阳帝国”，如果建立了也很难维持有效的统治，这是物理法则给出的政治共同体的上限。

人类布满太阳系应该是未来100-200年内肯定可以实现的，甚至我们还将启航前往最近的恒星，以接近光速的速度航行大约需要5年的时间，那时人类将重新进入一个割据和争霸的时代，同时也是个以“星”为标示的真正“多元”的时代。可以设想那时一个少年的梦想可能会是穷其一生，漫游各星，最后回到地球，一个被文明抛弃的星。

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