45.伴随函子的例子：自由群

b.考虑群和群同态构成的群范畴，基础集函子（遗忘函子）有左伴随函子。对于给定的集合X，首先考虑由构造的自由幺半群M，为了更加清楚，我们记在中的两个副本是。那么X上的自由群FX就是自由幺半群M的商，关于的等价关系由所生成，表示空序列，复合运算就是M所诱导的运算。我们定义一个由X到FX的映射，将元素映到，即仅由所构成的序列等价类。可以直接验证我们得到了X沿函子U的一个反映。

这个例子有很多微妙的地方，可以说是看不明白。这个例子给出了左伴随函子的构造，经过一系列的操作，但是，还是要证明他确实是伴随函子。

函子性很容易得到，对于任意的集X，对应的FX显然是一个群，封闭是显然的，结合律在字符串连接操作下也是成立的，单位元是空串，逆元也通过与单位元的等价关系而保障了。对于映射复合的保持，其实在上一节就验证过了，映射被细化为对序列中每个字符的映射，所得的自然还是字符串，而且因为是逐个字符的转换，所以群的性质不会被破坏。就像简单的单字符替换加密算法一样，不会破坏字符间的连接关系。于是函子性得到了验证。

然后是沿函子的反映，这个就有点搞不清楚，按照之前的定义，X到FX的映射已经给出了，其实就是给出了X到UFX的映射。然后对于给定的群G，和X到UG的映射，存在唯一的映射，使成立。这里应该隐含了等式右边的映射是已知的这样的条件。这就奇怪了，任意的集合X到已知是群的基础集的映射该是什么样子的？是简单的集合函数吗？或者说，由于任意性，他还就必须是随意的集合函数，那么真的只通过自由群构造就可以实现存在唯一性吗？这个例子给出的答案是肯定的。

所以这中间是很微妙的，虽然给出了自由群的构造，但是，这种构造非常抽象，一些很重要的性质也没有提及，可能是因为太过基础了，但是，对于初学者而言还是很有必要的。

比如，自由群中的单位元，在集合X中是否有对应呢？或者说自由群中的单位元是否有逆象。答案是没有，集合X中的元素映入自由群中，彼此之间是没有哪一个元素高人一等，这才保证了对于任意的集合函数，都存在唯一的映射，因为没有特殊的元素，自然也没有特殊的映射，所以才有这种似乎不可思议的任意性。

这才是自由群中自由的含义，没有特殊的存在，没有额外的限制。

就到这里了，数学中的概念是很微妙的，也是隐含的，所以，如果仅仅是看过一遍，没有跟随着用基础概念去推演，很容易产生片面的理解。尤其是抽象的数学对象，没有现实对应，也只能通过逻辑推演来把握它，倘若能够建立一种直观而准确的模型，那真的是大功一件，毕竟，逻辑从来不是人的强项，只是无奈之举，识别与模型迁移才是人的优势，图像总比公式要好。