GPS捕获检测概率公式推导

1. 涉及的概念

检测量（V）——非相干积分值

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\begin{align}
V &= \frac{1}{N_{nc}}\sum_{n = 1}^{{N_{nc}}\sqrt{I}2(n)+Q^2(n)} \
I(n) &= aD(n)R(\tau)sinc(f_eT_{coh})cos(\phi_e)+n_I \
Q(n) &= aD(n)R(\tau)sinc(f_eT_{coh})sin(\phi_e)+n_Q
\end{align}
)

检测量的概率分布(p(V))——概率密度函数

)
有强GPS信号存在时，V服从均值较大的莱斯分布fs
有弱GPS信号存在时，V服从均值较小的莱斯分布fs
无GPS信号存在时，V服从瑞利分布fn

判决门限（V_{t}）

虚警概率（P_{fa}）——卫星信号不存在，误判存在的概率
漏警概率(P_{md})——卫星信号存在，误判不存在的概率
检测概率（P_{d}）——卫星信号存在，判决存在的概率

2. 结论

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f: V_{t} \leftarrow (N_{nc},\sigma_n^{2}, P_{fa}) \
)
N_{nc} ...非相干积分次数
以N_{nc} = 1为例，

Step1: 根据给定设计的P_{fa}指标，确定门限值V_{t}

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P_{fa} = \int_{Vt}^{\infty} \frac{v}{\sigma_n^{2}}e{-\frac{v^2}{\sigma_n{2}}} dv = e^{{-\frac{V_{t}}2}{\sigma_n^{2}}}
)
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V_{t} = \sigma_n\sqrt{-2lnP_{fa}}
)

Step2: 根据门限值V_{t}可以得到检测概率P_{d}为

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P_{d} = \int_{V_{t}}^{\infty}f_s(v)dv = 1 - P_{md}
)

参考文献：

《GPS原理与接收机设计》谢钢著