33.函子范畴

将两范畴之间的函子视为对象，函子间的自然变换视为箭头就可以构成函子范畴，这样的范畴是范畴上的范畴，往往称为纯粹的范畴论，高度抽象，难以理解。

不过，借助于指数结构，函子范畴的构造就很自然了。指数的来源是函数空间，比如两集合的指数集合，就是两集合间的所有函数的集合，在集合论中，往往记为B^A，其实也就是箭头集Hom(A,B)，那么假如将集合换为范畴呢？

这就需要引入一个重要的范畴，包括所有小范畴的范畴Cat，也可以称为小范畴范畴，名字有点拗口。在Cat中，对象是所有的小范畴，这里的小在这个系列最开始的时候解释过了，指的是范畴的对象和箭头都是集合，不会出现类的情形。Cat中的箭头是范畴间的函子，由于小范畴间的所有函子总能构成一个集合，所以Cat是局部小范畴，也就是指对象可以不构成集合，但是任意两对象间的箭头构成集合。

于是当Hom(A,B)中的集合换为小范畴时，其实就是Cat中的箭头集，所以，在B^A的基础上构建的指数范畴其实就是函子范畴Fun(A,B)，也就是范畴A,B间函子的范畴。

这个结论其实是和命题Cat是笛卡尔闭范畴CCC相关联，因为CCC要求范畴有有限积和指数，有限积就是指具有源对象0和二元积A×B，0就是零范畴，二元积就是两范畴的积，指数B^A就是上面的函子范畴构造。

所以，在Cat下，函子范畴就是指数范畴。

上面是正式定义，函子范畴自然也满足范畴公理，包括存在恒等箭头，满足箭头的结合律。

姑且试着解释一个例子，图范畴和函子范畴。首先，图或者说有向图，可以分解为节点和箭头，或者称为顶点和边，顶点构成一个集合，边也构成一个集合，同时还有边集到顶点集的两个函数，取起点和取终点函数，所以图范畴的基础结构就是两个集合以及两个情形箭头，如上图所示。G1是边集，G0是顶点集，t为target，取终点函数，s为source，取起点函数。

这些要素去除内容，就是一个特殊的范畴，两对象平行双箭头范畴，记为Γ。

那么，我们就可以据此将一个图视为一个函子，也就是G:Γ→Sets，因为任意给定一个这样的函子就能得到一个相应的图，这个可以自己试一下，随便写出两个集合，一个用大写字母表示顶点集，一个用小写字母表示边集，然后任意指定两集合间的两个函数，最后就能对照着函数关系连接边，从而画出图。图到函子的对应则是显然的，图中顶点对应到顶点集，边对应到边集，函数对应到函数。

所以图就对应着这样的函子，图同态对应着函子间的自然映射，图范畴就对应着函子范畴。

Cat，在不同的书中定义也不太一样，这里专指小范畴范畴，有的地方指所有范畴的范畴，这点要区分注意。这种名词上的区别也是很重要的，尤其是对于发展中还没有通用标准的领域。