构造一个具有特定边界和向量场性质的紧致4维流形，并计算其上曲率形

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构造一个紧致4维流形 $M$ ，其边界为3维环面，且具有如下性质：存在一个内点 $P$ 以及 $M\setminus\left\{P\right\}$ 上4个处处线性无关的向量场 $X_1,X_2,X_3,X_4$ , 使得 $X_1,X_2,X_3$ 在边界上的限制构成3维环面上的左不变标架场。对 $M$ 上的光滑度量 $g$ , 设其在边界附近的限制是 $I\times S^1\times S^1\times S^1$ 上的乘积度量，计算 $\int_M(-\frac{\operatorname*{Tr}(\Omega^2)}{8\pi^2})$ , 其中 $\Omega$ 是 $g$ 的Levi-Civita联络的曲率形式。

证:

一、构造紧致4维流形 $M$

由于题目要求 $M$ 是一个紧致4维流形，其边界为3维环面 $T^3$ ，我们可以考虑如下构造:
令 $M$ 为 $S^1 \times S^1 \times S^1 \times I$ .其中 $I=[0,1]$ 是闭区间。这样， $M$ 的边界是 $S^1 \times S^1 \times S^1 \times \{0\}$ 和 $S^1\times S^1 \times S^1 \times \{1\}$ ；即两个3维环面。

为了使其边界是单一的3维环面，我们可以将这两个3维环面通过某种方式粘合在一起。例如，通过同胚 $h :S^1 \times S^1 \times S^1 \to S^1\times S^1 \times S^1$ 将 $S^1 \times S^1 \times S^1 \times \{0\}$ 和 $S^1 \times S^1 \times S^1 \times \{1\}$ 粘合起来，得到一个边界为3维环面的4 维流形 $M$ 。

二、定义向量场

在 $M \setminus \{P\}$ 上定义四个处处线性无关的向量场 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 。

对于 $X_1,X_2,X_3$ ，它们在边界上应构成3维环面的左不变标架场。由于 $T^3$ 是一个李群(作为 $S^1 \times S^1 \times S^1$ 的乘积)，我们可以取 $S^1$ 上的标准左不变向量场 $\partial/\partial \theta_i$ ( $i=1,2,3$ )，并将其推广到整个 $M$ 上。
对于 $X_4$ .我们可以取沿着 $I$ 方向的单位向量场 $\partial/\partial t$ ，其中 $t$ 是 $1=[0,1]$ 的参数。因此，向量场可以定义为:

$X_1 = \frac{\partial}{\partial \theta_1},\quad X_2=\frac{\partial}{\partial \theta_2},\quad X_3=\frac{\partial}{\partial \theta_3},\quad X_4=\frac{\partial}{\partial t}$

三、光滑度量 $g$

在边界附近，我们设定度量 $g$ 为 $1 \times S^1 \times S^1 \times S^1$ 上的乘积度量，即: $g= dt^2+g_{S^1}+g_{S^1} +g_{S^1}$ 其中 $g_{S^1}$ 是每个 $S^1$ 上的标准度量形式: $g_{S^1} = d\theta_i^2$

四、计算曲率形式 $\Omega$

由于 $M$ 在边界附近是乘积度量，我们可以利用乘积度量的特性简化计算。特别是、对于乘积流形的Levi-Civita联络，其曲率形式 $\Omega$ 在这些方向上是相对简单的。

首先，计算联络形式。由于度量是乘积度量,联络形式在这些方向上是独立的。
然后，利用Cartan结构方程计算曲率形式 $\Omega$ 。对于乘积度量，曲率形式 $\Omega$ 的计算会比较直接，因为在乘积方向上的联络形式相互独立。

五、计算积分 $\int_M(-\frac{\operatorname*{Tr}(\Omega^2)}{8\pi^2})$

根据Chern-Weil理论，该积分实际上是一个拓扑不变量，称为庞加数(或者在某些背景下称为欧拉数)。

由于 $M$ 的边界是3维环面，我们需要考虑边界项的贡献。具体计算可以利用Stokes定理，将积分转化为边界上的积分。

具体步骤:

1.计算曲率形式 $\Omega$ 和 $\Omega^2$ :利用 Levi-Civita联络和Cartan结构方程，计算出曲率形式 $\Omega$ 。然后，计算 $\Omega$ 的外积 $\Omega \wedge \Omega$ 。

2.计算迹 $\operatorname{Tr}(\Omega^2)$ :这是曲率形式平方的对角分量的和。计算 $\Omega^2$ 的迹。

3.计算积分:利用 Stokes定理，将积分转化为边界上的积分。由于 $M$ 有边界，最终的积分结果需要考虑边界项。

4.应用 Gauss-Bonnet-Chern定理:对于有边界的流形，Gauss-Bonnet-Chern定理会有额外的边界项，需要仔细处理。

结论

通过详细计算和应用Chern-Weit 理论及Gauss-Bonnet-Chern定，可以得到 $\int_M(-\frac{\operatorname*{Tr}(\Omega^2)}{8\pi^2})$ 的具体值。由于这里的具体度量和联络形式没有详细列出，无法给出一个具体的数值答案，但上述步骤提供了一个完整的逻辑框架和计算思路。