48.伴随函子的例子：带基点的拓扑空间范畴，拓扑空间范畴的遗忘函

考虑带基点的拓扑空间范畴，（限定词带基点，指出，指定点都可以），这个范畴中的一个对象是序对，分别为拓扑空间和拓扑空间中的一个指定点，称之为基点。箭头就是保持基点映到基点的连续映射。为了避免记号过于庞大，我们将不在显式写出拓扑空间，而仅以其基础集合来表示。给定一个基点空间，定义为这个空间的带有紧开拓扑的环路空间，他的元素就是环路，也就是圆到这个空间的连续映射。点p是圆的任意一个固定点，环路空间的基本开子集就是包含在开集中环路。K在圆的紧子集中穿行，U在X的开子集中穿行。这个构造很容易拓展为一个函子。

现在我们定义第二个函子，称之为悬浮函子。给定一个基点空间，函子在这个空间上的作用通过商给出。等价关系是将所有的基点序对视为同一的。一个拓扑学中的经典的结果就是他是第一个函子的左伴随。

考虑拓扑空间范畴和基础集函子，这个函子有左右伴随函子M和R。给定一个集合X，LX就是带有非离散拓扑的集合X，RX同样是这样的拓扑空间。

感觉上似乎有点问题，结合下面的例子，RX很可能是离散拓扑空间，而不是非离散拓扑空间。因为有一种感觉，左伴随函子得到的对象具有接收一切箭头的能力，而右伴随函子得到的对象具有发出一切箭头的能力，也就是所谓的初始对象和终对象，不过是受限制的，不是对全体对象成立，而是对由原始对象所能简单构造的所有对象成立。一个是完全嵌入，一个是完全接纳。不过这只是一种感觉，还是需要通过例子来支持。

考虑范畴范畴和遗忘函子，，将小范畴映到他的对象集。这个函子有左右伴随函子，对于给定集合X，LX是以集合X为对象集的离散范畴，RX是以X为对象集的并且每一对对象间只有一个箭头的范畴。

就到这里了