数学多元表征能力研究的思考与想法

一、是什么？

    1.大家的认为：

美国现代认知心理学家西蒙说:“表征是问题解决的一个中心环节，它说明问题在头脑中是如何表现出来的。”

心理学研究表明，学生在学习与练习的基础上，将知识编码后以表象代码及命题代码形式储存在大脑中。数学表征反映着学生掌握知识的认知程度，它是用一种形式(物理的或心理的)将数学对象的想法、知识重新表现出来，是学生对信息的加工、建构以及储存的方式。

美国著名教育心理学家莱许用外在多元表征结构系统（见图1）来说明数学概念的发展过程。

外在多元表征结构系统

布鲁姆根据学生思维活动水平高低，区分出三类表征：借助实物操作活动完成思维的动作表征，根据实物影像在头脑中制作心像进而展开内在思维活动的图像表征，主体思维直接对数学符号进行思维操作的符号表征。

从数学表征的本质出发，多元外在表征分为“数（数学对象的言语化表征）”和“形（数学对象的视觉化表征）”两类，可以借助直角坐标系对外在表征类型进行定位。从数学教学的角度，数学表征分为形式化、图像化、动作化和语言化等四类表征，或者分为符号、言语、图像和体验等四类表征。从变式教学的角度，概念教学和问题解决存在表征与变式系统。

图3 概念教学和问题解决之间的表征与变式系统   图5：文本和图形理解的整合模型图   图6 表征系统（一） 图7 表征系统（二） 图8 表征系统（三）

2.我的理解：

“表征”，“表”就是表达，“征”就是表露出来的迹象；现象，如：特征。

“数学表征”就是把一些概念或关系抽象成不同的现象来表达。是数学抽象、数学逻辑与数学表达的有机结合，其本质是数学学习对象的替代。

判断学生的“数学表征能力”，就是看学生是平路能够有自己与众不同的清晰表达，来证明自己的理解。

表征的不同表现形式：口头语言、文字符号、图形图表、模型、情境表征、操作性表征。

江苏有位名师叫卢清荣的，曾经研究过数学语言转换，把数学语言分为：文字语言、图形语言、符号语言。

二、与其他数学其他关键能力的关系

（1）与变换能力   

数学表征是不同的表现方式，变换能力是每一种表现方式中的变换，比如：画图，可以添加辅助线来沟通已知与未知的关系，让题目变得简单。

（2）与其他能力

问题提出之后，学生谈自己的理解，然后用不同的表现形式表达出来，贯穿于整个问题解决的过程，与问题提出能力、数学交流能力紧密相关。

三、怎么样？

数学学习的样态多种多样，学习媒介与路径也不尽相同，不同的数学思维方式获得不同的数学理解，得到不同的数学发展。数学学习与思维的过程和结果，既有内隐心理层面的反应，也有外显可视可听可感的数学化表达，表现为数学多元表征学习。

目前，数学多元表征学习越来越进入日常教育教学与研究之中，以顺应当下多元学习方式的需求，丰富数学学习的方式与形式，有效地将学生的心理与思维外显，促进数学理解与专业表达，力求在数学教学中让知识内核“看得见”、思维过程“看得清”、理性思维“看得深”，提升师生分析数学现象、阐释数学问题的数学思维水平。

众多研究表明，多元表征通过相互协调、渗透与互补，能有效降低认知负荷，促进数学理解、解决数学问题。小学生以具体形象思维为主，呈现明显的线性路径，动作、影像和符号三者的表征系统相辅相成、互相促进，是学生认知生长或智慧生长的核心。在多元表征过程中，数学学习就是将一种表达形式转化为另一种表达形式，其本质保持不变。

数学学习既要基于知识发生发展的逻辑起点，也要基于学生的经验起点。单一表征往往停留在问题表面或某一面，导致“对问题内涵及本质准确刻画的缺位”。相比单一表征，多元表征具有角色互补、限制解释、建构深度理解三大认知功能，平行或串行的多元表征利于知识系统全面深入的理解，达成数学概念的意义建构。就“数学知识引入”“数学知识理解”“数学知识应用”而言，不同的学习进程得以不同的表征方式体现与表达，通过适时转换或转译发挥多元表征各自的功效，合力加速数学认知发展[34]。多元表征对数学教学具备必要性，既是认知负荷理论的必然结果，又是数学智慧课堂的必然选择，并为解决问题提供新平台，有效减轻学生认知负荷、发展数学智慧。为此，需要重视应用多元表征促进数学理解，并且从表征之间或从非标准变式找联系。

于是，教师既要引导学生运用表象代码对概念进行描绘性表征，便于传递具体信息，又要引导学生运用语义代码对概念进行叙述性表征，便于传递抽象信息，从而既形成言语记忆痕迹又形成视觉记忆痕迹，发展数学语言。

一般来说，数学学习活动需要经历“具体直观到一般抽象、再回归思维具体”的思维路径，提增数学学习的参与效度与学习深度。“实物操作—图像操作—符号操作”的三次转化与提升，符合学生认识事物的“直观水平、表象水平、抽象水平”认知阶段。信息打包、空间邻近、时间临近、一致性、双通道和增强深度学习，是基于数学多元表征学习理论的创课设计的六项基本原则。

认知模型能更好地指导教学实践，具体课例实践能形成多元教学范例，产生较好指导意义。比如聚焦于图像表征的以“读图”为入口初步感知数学、以“体验”为保证展现表征过程、以“画图”为突破促进知识内化、以“互译”为深化引导灵活运用，并建立图像表征过程与数学理解过程的关系图谱（见图。在数学学习时，在动作表征中引入概念、肖像表征中抽象概念、符号表征中形成概念，综合表征中内化概念，使认知既有具体化又有形式化，经历“把握起点，多元并重，初步感知”“加强转换，个性表征，概念生成”“科学组合，合理表征，理解概念”“沟通联系，完整表征，深化理解”的教学流程。

图9 图像表征过程与数学理解过程的关系图谱

事实上，以上的数学多元表征学习是从教学环节把认知过程提炼为线性关系，然而现实是多元表征学习许多时候呈现非线性组合推进，建构为数学多元表征学习的认知模型：人脑对数学多元表征信息进行加工、提取与存储，并且整个认知过程由工作记忆和长时记忆两个系统协调完成，通过工作记忆加工，言语系统与心像系统的交汇处或交集则贮存整合码。教学设计还须从“突出数学本质思考”“把握课程标准定位”“分析教材内容特征”“了解学生学习特点”“开展课堂活动教学”等五方面注意多元表征的实践应用[54]。然而，现实教学的诸多设计与实施存在过于偏向符号表征、忽视表征的发展层次、忽略表征间的转换与转译等不良倾向[55]，教师要根据知识本质适切关照表征形式的多样化，实现数学信息本质的外显化及丰富化，引领知识学习的意义建构。

目前问题：

从表征形式来看，存在“重外轻内”现象，多元内在表征被弱化。实践或实证研究都需要理论支撑,从而双向展开理论的实践性解读与实践的理论性反思，然而文献内容表明，多元外在表征研究丰富，而多元内在表征研究偏弱。一方面，多元内在表征更多需要内隐的心智理论技术支撑，本源性认知层面的心理机制的解释与解读涉及不多、深入不足。另一方面，国内对心理机制的研究相较国外显得单薄，并且理论研究要求较高，研究者相对集中于高校学者或硕博学生。

从教学实施来看，存在“实例虚类”现象，“类”教学范式被虚化。数学多元表征的研究虽有较多具体翔实的课例经验，但这是集中于某个“节点”课时的碎片化，缺失面上的“类”结构的普适意义，“类”结构教学范式被虚化。一是少有如何具体实现表征内的自我转换以及表征间的相互转译的研究。二是少有某个具体的单一表征的深度研究。三是鲜有小学数学教材表征样态的研究。比如就动作表征而言，有着怎样的教学价值？小学数学教材中哪里适合应用？如何有效实施？背后的心理机制是什么？缺失了面上的统领，一线教师难以获得清晰而全面的理解，也难以科学严谨地应用到日常教学之中，更难从整体上实现从抽象“一类课”范式到具体“一节课”课例的交流互鉴。

四、怎么用？

如何应用多元表征助力数学教学有着不同的教学策略。从数学多元表征中学习数学、向数学多元表征学习数学、用数学多元表征学习数学，是理解数学本质的有效理念和策略。“精深挖掘资源，探索数学表征的多元化”“运用教育机智，达到多元表征的最优化”能让数学课程智慧起来。基于数学学习的“过程受限”，把直观表征引入数学概念、多元表征变式加深数学理解、引导学生自己创建多元表征就很有必要。为了更好地赋能学生数学思维自然生长的力量，不妨多元化呈现助推数学理解、多元化勾连构建认知结构、多元化外显引发思维可视，在数学学习过程中多元并重、加强转换、尊重个性，从纵向、横向、纵横结合三个视角多层次、多视角、多维度经历数学形成过程，注重数学学习对象多样化呈现以促进数学知识多元建构，注重数学内在表征的多元联系以促进多元表征转换转译，注重数学内在表征的多元外化以促进数学思维可视可感，以及数学多元表征形成的网络结构、互换互译和内外循环促进数学学习深度发生。但是多元表征并不是每堂课都适用，也不是每个学生都能在课上得到最大的收获。

说思维

“说" 依赖于有用的语言表征，语言是实现说数学的工具，而语言包含了理解与反思，因此“说"的本质就是在认同对方语言表征基础上人与人之间的交流与互惠。“说数学”是以师生、生生交互对话为表征与载体的教学活动，它是相对于传统的“独白式”教学而言的“沟通式”教学。教学是师生双方共同的活动，它存在于教师与学生在教学中的交互性，若“说”与教学过程共谋，师生的主体间性就会被建构出来，从而就能实现师生的精神相遇，获得“认知共振、思维同步与情感共鸣”的效果。

数学学习实际上是数学思维模式的构建，需要学生在自己的学习空间中独立地构建，因为数学知识是个体在解决所感知到的数学问题过程中获得的，在这个过程中，个体依序建构了活动(Actions)、程序(Processes) 和对象(Objects)，最终组织成用以解决问题情境的图式结构( Schemas)，任何外来的“强加”或“灌输”都不能让学生获

得数学真实的体验。

数学多元表征是将同一个数学学习对象用本质不同的多种形式表征，通过表征内部的自身转换和表征之间的相互转译，以及联系或变式[6]对数学学习产生影响，从而促进数学理解与问题解决。

五、未来展望

在国内，数学多元表征历经12年的短暂发展，整体上仍属于起步阶段，但是数学多元表征研究已逐步成为鲜活主题与热门话题，取得了较为丰富的研究成果，还可以从以下几方面开展进一步探索。

（一）进一步丰富多元表征的研究主体

从最近几年的文献来看，小学数学教师研究成果呈现发展趋势，小学数学领域数学多元表征有着广泛的研究空间。后续研究中，需要进一步丰富研究主体，加强小学数学教师的研究共同体建设，加强小学与高校的联合教研体建设，实现高校学者的理论优势与小学数学教师的一线实践经验的双向配合，共同协作开展多元表征的理论建构与实践探索，增强理论研究与实践研究的指导意义，增强教师自身生长感与获得感。

（二）进一步关注多元表征的心理内涵

数学多元表征的研究要从关注实践思辨，转向更深层次的理论研究与心智探索。一方面高校教师加强心理学、脑科学、神经学等内部心理机制研究，从“外”而“内”，走向深度理解，解构认知原理。另一方面，心理机制的研究于小学一线教师而言具有较高的挑战，他们更需多加关注与学习，为实践经验找到更深入的学理支撑，进一步跳出经验总结思辨。第三方面，回归与审慎心理认知发展规律，尤其是心理学层面的解释与解读,双向展开理论的实践性解读与实践的理论性反思，通过实践样态“看到”其背后的内隐心智元素，从而助力于更好地分析数学现象、概念或问题，有效设计并应用多元表征，促进数学理解与认知建构。在一定量的实践研究之后，势必会逐步转入更深层次的理论研究与心理学基础研究，提供更为丰富的多元表征学习的源动力。

（三）进一步拓展多元表征的研究内容

多元表征的研究内容还需进一步横向拓宽多元表征的研究领域，纵向加深单一表征的专项研究，从而扎根数学课堂、生根数学思维、养根学习历程。一是范式研究。具体就动作表征、图像表征、符号表征等单一表征开展专题深度研究，不断聚焦并纵深建构，形成不同侧重的教学范式。二是盲点突破。相对而言，多元表征的研究比较关注概念教学，聚力于数与代数、图形与几何领域，数学运算、直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模多有涉及，而承载数据分析的统计与概率领域属于盲点，有待突破。三是教材研究。梳理出教材例题的表征形式与教学建议，探索并形成教材例题表征手册，提供借鉴启迪。四是表征评价。重视表征内的自我转换以及表征间的相互转译的效果评价，尤其是学生自主应用表征解读数学概念、解决数学问题的意识与路径能力，研究多元表征评价维度，审慎并促进多元表征的应用过程与设计优化。