一次函数被坐标轴和双曲线所截的线段问题

一次函数的图象被坐标轴和双曲线所截的线段问题，属于综合性较强的类型题，考察的点既涉及到如何添加辅助线（过图象上的点向坐标轴作垂线段），又要反复利用数形结合的思想。

其基本模型和结论如下，模型的证法，既可以联立一次函数与反比例函数的表达式，利用韦达定理和三角函数/相似得证。也可以通过向坐标轴作垂线段，利用同底等高三角形面积相等，以及反比例函数k的几何意义，进而构造了两个平行四边形，通过对边相等转化得证。证明思路分别如下：

第一种思路，除了在证明线段相等时会用到两根之和，利用线段的乘积关系，求反比例函数比例系数k的时候，也会用到两根之积。如下面的两道题：

而模型中的线段相等，若能够在解决反比例函数与一次函数图象结合的线段问题中，联想到这个结论，往往便能化繁琐为简单，轻而易举解决问题，如下面的两个题：

我们也会发现，在解决此类问题中，一次函数图象与x轴的夹角（锐角），其正切值就是一次项系数的绝对值，这个知识点也用的很普遍，其目的是把倾斜的线段问题，转化为点的坐标，从而求反比例函数比例系数k的值。当然，这个转化，也可以利用三角形相似得以实现。