26.角对，拉回的结合性

范畴A中一个箭头的角对是关于自身的拉回（角对这个翻译感觉不怎么样，但也想不出来怎样称呼更好）

范畴A中，如果一个箭头的角对存在，那么都是满态

证明，选取恒等箭头，得到唯一分解，根据唯一分解的性质，即为单态，为满态。

下面的结果是显然的，但是我们将用来证明一些有趣的结论。

考虑范畴中的一个态射，下面的条件等价

1.f是单态，2.f的角对存在，由给出，3.角对存在，并且

1--3单态的左消性。

现在让我们推出关于角对和余等子的两个有趣的性质。

在范畴C中，如果一个余等子有一个角对，那么他就是这个角对的余等子。

有点意思，证明体现了范畴的特征，交换图的匹配，余等子和角对的交换图其实很相似。

他们之间通过唯一分解z联系。

范畴C中，如果一个角对有一个余等子，那么这个角对就是他的余等子的角对

也就是说余等子和角对紧密联系，角对有余等子等价于余等子有角对。

下面得出这一节的主体部分，所谓的拉回的结合性。

1.由交换图，方形1,2都是拉回，那么外面的方形就是拉回。

2.如果方形2和外方形都是拉回，那么方形1也是拉回。

证明有点长，有空再看。

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到此，拉回的理论部分就看完了，学了很多，但又感觉空空如也，还需要大量的例子来填充。

范畴论与模式匹配

慢慢发现了，范畴其实就是各种图，证明就是从图中识别出各种性质的图，这些图可能是基本不变的，也可能是简化的，或者推广的。这其实很有意思，也含有深意，与其说是逻辑的，不如说是图像的，数学发展到这个地步，正在变得形象起来，毕竟相比于逻辑推理，人对图像的识别和处理更加迅速，可能也是一种必然。