首次！应用神经网络达到误差为0的精确解析解！
2019-12-11 本文已影响0人
Neural_PDE
我们生活中的很多现象都可以归纳为一些公式来准确地描述并预测：比如跑步速度与时间和路程的关系v=s/t；又比如经典的受力与质量和加速度的关系F=ma等等。更多复杂的现象都可以被归纳抽象为一个方程，方便我们去描述预测未来：比如麦克斯韦方程组，又比如薛定谔方程等等。
很明显，对于一些复杂现象推导出的微分方程（比如小球按照某个速度行驶一段时间，我们想得到最终的路程，此时可以列出微分方程ds/dt=C，我们无法直接得到所需的结果s，需要运算得到s的显示解s=ct。）通常有两种方式来求解这些复杂的微分方程，进而得到两种结果：1数值近似解(比如t=2，c=2时，通过一些微分方程数值解法可以得到s≈4.001)；2显式的精确解析解(s=ct)。
神经网络模型由于其强大的非线性性质和拟合效果，早已被引入到求解片微分方程(一下简称:PDE)中，但由于神经网络模型一直被用以大数据处理，人们倾向于将PDE离散化之后，应用神经网络模型去拟合这些离散后的点，最终得到一个近似的显示方程，从而得到所需的近似解。
进来，Run-Fa Zhang等人发明了双线性神经网络方法可以直接获取原方程的精确解析解。(这意味着误差为0!)
https://doi.org/10.1007/s11071-018-04739-z
下面我们来简单介绍一下这种方法：
第一步：对原方程做一个双线性变换，得到方程（3）。
将（1）转化为双线性方程（3）
第二步：构造（3）中的函数f为一个神经网络模型
最右边输出即为（3）中的函数f
这里作者选择了简单的双层模型
与双层模型所对应的f 表达式
第三步：将构造的模型f带入（3），得到一个复杂的神经网络方程。
第四步：令神经网络方程中关于自变量的系数均为0，得到一个代数方程组，求解之。
第五步：将得到的解（神经网络的权重和阈值的关系）带回到构造的f中，即可得到f。
第六与：通过双线性变换得到原方程的显示解。
最后我们来看一下得到的结果吧。
怪波
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