40.逗号范畴的限制，第二章习题
逗号范畴在1.6节介绍过了。
考虑两个完备范畴A，B和两个限制保持函子F：A---C，G：B---C。逗号范畴是完备的，投射函子都是限制保持的。
如果C是完备范畴，到集合范畴的函子F是限制保持的，那么函子的元素范畴是完备的，并且遗忘函子是限制保持的。
另一个有趣的逗号范畴的例子是切片范畴。实际上考虑单点范畴和常值函子，切片范畴就是恒等函子和常值函子的逗号范畴。注意到常值函子一般不能保持限制或者余限制。确实，在单点范畴内有
，而在范畴C中
。尽管如此，我们还是有下面的结果。
考虑范畴C和其中的一个固定对象I
1.C完备，则切片范畴完备
2.C余完备，则切片范畴余完备
下面是习题
1.考虑带二元积和等子的范畴，给定两个态射，证明这两个态射的拉回就是复合态射对的等子。
2.考虑一个函子，以及函子上的锥构成的范畴，对象是函子上的锥，箭头就是锥间的态射。证明函子有限制当且仅当有锥范畴到基底范畴的函子，将一个锥映到他的顶点，有余限制。
3.考虑函子和一个对象，记。。。为常值函子，证明函子上的锥就是常值函子到函子的自然变换。
4.在有限集合范畴中，证明恒等函子的余限制存在（就是单点集）但是通过定理2.8.1构造的余积不存在。
5.考虑带积范畴和一个函子，由小范畴到给定范畴。构造。。证明。。的角对存在当且仅当限制存在。
6.考虑带积范畴和函子，函子保持积和等子。证明函子保持限制。
7.证明（C，q）是（f1，f2）的绝对余等子，当存在s和ri满足。。。
8.证明函子是终的，只要对每个对象D\in D，逗号范畴是连接的。证明2.11.1的假设比习题中的要强。
9.考虑带有对象0,1的范畴以及单个的非恒等箭头0---1。选取范畴B是图所表示的偏序集。在函子范畴（A，B）中，考虑两个函子F，G。证明他们的积是函子H，这个积不是逐点的，因为f×g在B中不存在。
10.假设证明中的两个积存在只要。。。是函子的限制。立即的说明了态射l的存在。证明l是。。的等子。
总算是完了，这一章看得很艰难，如果是纯粹的学习，那是没什么问题的，毕竟思路和证明都很清晰，但是，想要和现有的体系相结合就非常别扭，太过奇怪，和以前学过的东西存在本质区别，就变得顾此失彼。只能说学习的目的不纯粹，效果就很差。不过，总算还是搞完了。虽然遗留了非常多的问题，几乎每一个长证明都跳过去了，每一节仅仅是学了个名词。所以呢，就先停下来，第三章伴随函子的内容就先暂停，花足够的时间将这一章的内容在学习一遍，补足缺陷，打好基础，然后在继续学习。欲速则不达。
