19.范畴的语言*习题

1.如果两个序集被视为范畴，证明这两个范畴之间的函子是一个保序映射，或者说单调映射。如果f，g是这样的两个函子，证明存在由f到g的自然变换，当且仅当

2.如果两个幺半群被视为范畴，证明他们之间的函子就是幺半群同态。那么两个函子之间的自然变换是什么？

3.练习2中，假如他们是群，证明两函子间存在自然映射，当且仅当f和g是共轭的。

4.如果G是一个群，并且视为范畴，证明G的恒等函子的自然变换就是G中心的一个元素。群G的中心是能与别的元素交换的元素之集。

5.证明协变可表函子保持单态

6.证明反变可表函子将满态映为单态。此命题与上一个命题形成对偶。

7.证明遗忘函子，由带幺交换环范畴到集合范畴，将一个环映为基础集，是忠实的，并且可由整系数多项式环Z[X]表示，但不保持满态。

8.如果ABC是小范畴，证明范畴同构，Fun代表函子范畴

9.证明一个收缩是单态，那么一定是同构。

10.验证，例1.2.7中单态，满态，同构的自然性。？？没看懂什么意思

11.考虑一个小范畴，以及对应的函子范畴。证明函子范畴的一个态射（本质是自然变换）是一个单态，当且仅当这个自然变换的每一个分量是集合范畴中的单态。提示：使用米田引理。

12.练习11中的陈述将不再正确，当集合范畴被一个任意范畴替代。考虑上图所示范畴可构成一个反例。

13.考虑带幺交换环范畴，一个态射是满的，当,等价的有是满射，或者说满态。

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习题不在于做完，因为有的难，有的简单，想要做完往往要花费大量时间。但是，做题也是很必要的，阅读得来的太过容易，反而会忽略细节，要用的时候就无从下手，细节往往不在书中，而在思考中。做题就是要学着去思考，放慢节奏，对每一步都要牢牢把握。这也是学与用的结合，因为数学不同于其他，很难有实际的应用，更多的是用于理论的构建，所以，对其他学科理论的推导就是数学的应用。不过，这种应用往往就比较平凡。这也是矛盾啊，习题难度可高可低，具有针对性，却脱离实际，很难有获得感，而有现实背景的理论应用，往往又过于简单，不能覆盖所有的知识。