18.对偶原理

现在，读者已经注意到了每一个在协变函子上成立的结果都有与之对应的反变函子上成立的结果，每一个由单态证明的结果，也有可由满态证明的类似结果。

这些事实其实是一个非常普遍的原理的特例。

首先定义对偶范畴的概念

1.对象与原范畴一致

2.态射与原范畴的态射是对应的，区别在于所有的箭头都反转

3.复合运算如图所示

元定理：对偶原理

假设任意范畴中，通过某些对象，态射的存在，或者某些态射复合的相等这种方式，来表述的命题是成立的。那么，在任意范畴中的对偶命题同样成立，这个对偶命题是通过反转所有箭头的方向，对箭头的复合作同样处理，来描述的。

证明，假设S表示给定的命题，S*表示对偶命题，在范畴A中证明S*就等价于在对偶范畴A*中证明S，而后者已经被假定成立了。（因为原理中假定在了S所有范畴中成立，对偶范畴也是范畴，所以S在对偶范畴中也是成立的）

举例，单态定义，经对偶化后就是满态的定义。所以单态的所有命题，都有满态的相应版本。正式地说，就是后者的合法性，是由前者的合法性经对偶原理立即得到的。

于是，每当我们证明了一个命题，通过对偶原理，我们就同时证明了他的对偶命题。一次证明收获双份结果，十分划算。

反变函子的例子，可以同样经对偶原理化简为协变函子的对应例子。例如，A到B的反变函子就是A*到B的协变函子，或者是A到B*的协变函子。这可从定义看出，反变函子只对值域范畴作了对偶处理。

有趣的是，在范畴论中，有些概念具有自对偶性。比如同构，同构的定义经对偶化后还是同构的定义。

a.对于任意的范畴，可以构造一个双函子，仍记作A，可视为

这个函子称之为Hom函子，态射集函子。

从Hom函子分别带入第一，第二个变量，能得到协变可表函子和反变可表函子。

，

b.集合范畴的对偶等价于完备的原子布尔代数范畴，并且与或非保持态射。记这个范畴为CBA，那么反变幂集函子就可视为。众所周知，每一个完备原子布尔代数同构于其基础集合X的原子的幂集PX。证P*是满的及忠实的。证明有空再看。

c.交换群范畴的对偶等价于紧交换群及连续同态构成的范畴。就是什么什么对偶定理，不了解，不看。

d.有限交换群范畴等价于它的对偶范畴。

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对偶原理完了，第一章也算结束了，不容易啊。对偶原理其实挺有意思的，证一得二。但是，要想找到一个不平凡的例子，那大概率是看不懂的。

这一章都是一些很基本的构造，最初的集合与类，然后是范畴的定义，函子，自然变换，反变函子，满函子，忠实函子，逗号范畴，单态，满态，同构，对偶原理。因为基本，所以内容很陌生，和以前学的知识没有太大关联。往往就看不懂。这也是好事，说明没有太多的牵绊，太多不必要的累赘，说明观点之新，角度之独特。

范畴论是抽象的理论，是基础理论的抽象，关注于各种交换图，各种存在唯一性，倾向于构造性的证明，给出一个图事实上是给出了一种具体构造。相比于分析，拓扑中的存在性，反而算是容易理解的，甚至是可机械化求解的。之前的程序构造的想法就是在这种基础上的，现在其实很多人已经在程序设计中考虑这种设计了，函数式编程，λ演算，都是尝试。不过，数学理论总有他的纯粹性，总是毫不犹豫的往外开拓，直至无穷，甚至无穷之上的无穷层次。