计算机中的数学

计算将球以偶数分配到三个盒子的方法数

2024-11-05 本文已影响0人久别重逢已经那边v发

n个相同的球的情况

把 $n$ 个相同的球放入3个不同的盒子中。若限定每个盒子中的球数只能为偶数，试求放球方案数 $P_n$ 。

解：

考虑盒子的数量和球的数量的关系。要使每个盒子中的球数量为偶数，首先 $n$ 必须是偶数，否则方案数 $P_n$ 为零。我们设 $n=2m$ ，其中 $m$ 为整数。

将问题转化为一个生成函数的问题。生成函数的方法在组合数学中常用于解决此类分配问题。

考虑生成函数:

$f(x) = (1+x^2+x^4+x^6+ \cdots)^3$

这是因为每个盒子中的球数必须为偶数，所以每个盒子的生成函数为 $1+x^2 +x^4+x^6+\cdots$ ，对于3个不同的盒子，这个生成函数的立方即为:

$f(x)= \left(\frac{1}{1-x^2}\right)^3 = \frac{1}{(1-x^2)^3}$

我们需要找到这个生成函数的 $x^{2m}$ 项的系数,因为我们设 $n=2m$ 。将生成函数展开成幂级数: $\frac{1}{(1-x^2)^3}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+2}{2}x^{2k}$

其中， $\binom{k+2}{2}$ 是二项式系数，表示从 $k+2$ 中选2的组合数。因此，系数 $x^{2m}$ 是 $\binom{m+2}{2}$ 。

所以，方案数 $P_n$ 就是: $P_n=\binom{m+2}{2}$

将 $m$ 代回 $n=2m$ 中，即 $m=\frac{n}{2}$ ，最终得到: $P_n=\binom{\frac{n}{2} + 2}{2}$

因此，将 $n$ 个相同的球放入3个不同的盒子中，且每个盒子中的球数为偶数的方案数 $P_n$ 为: $P_n =\binom{\frac{n}{2}+ 2}{2}$

这一结论适用于 $n$ 为偶数的情况，当 $n$ 为奇数时，方案数 $P_n$ 为零。

n个不同的球的情况

把 $n$ 个不同的球放入3个不同的盒子中。若限定每个盒子中的球数只能为偶数，试求放球方案数 $P_n$ 。

解：
一、当 $n$ 为奇数时:

由于要求每个盒子中的球数只能为偶数，所以当 $n$ 为奇数时，无法满足条件，放球方案数为 $P_n=0$ 。

二、当 $n$ 为偶数时:

设 $n=2m$ ，其中 $m$ 为整数。

我们要将这些球放入3个盒子中，每个盒子中的球数都为偶数。设三个盒子中分别放 $2a$ 、 $2b$ 和 $2c$ 个球，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为非负整数且 $a+b+c=m$ 。

我们需要计算满足上述条件的方案数。

1.计算非负整数解的数量:

由于 $a+b+c=m$ ，非负整数解的数量为 $\binom{m + 2}{2}$ 。

2.每种分配方法下的具体分配方式:

对于每个盒子中的球数，我们需要从 $2m$ 个球里选出 $2a$ 个球，然后再从剩下的球里选出 $2b$ 个球，剩下的 $2c$ 个球自动分配到第三个盒子里。因此，具体的分配方式数为组合数的乘积:

$\binom{2m}{2a} \times \binom{2m-2a}{2b} \times \binom{2m-2a-2b}{2c}$

由于 $c=m-a-b$ ，我们可以化简为:

$\binom{2m}{2a} \times \binom{2m-2a}{2b}$

综上，将这些组合数累加起来，我们得到:

$P_{2m}=\sum_{a=0}^{m}\sum_{b=0}^{m-a}\binom{2m}{2a}\binom{2m-2a}{2b}$

结论

当 $n$ 为奇数时， $P_n=0$ 。
当 $n$ 为偶数时，设 $n=2m$ ，则放球方案数为: $P_{2m}= \sum_{a=0}^{m}\sum_{b=0}^{m-a}\binom{2m}{2a} \binom{2m-2a}{2b}$ 。

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