十七 图形图像开发中的3D数学

坐标系

左手坐标系和右手坐标系

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• 世界坐标系：经纬坐标
  原点在本初子午线与赤道的交点

• 物体坐标系
  和物体的位置的所处的方向相关联，有时也被称作模型坐标系（模型顶点的坐标都是在模型坐标系中描述的）

• 摄像机坐标系：和观察者相关联
  摄像机在原点，x轴向右，z轴向前，y轴向上

• 惯性坐标系：为简化世界坐标系到物体坐标系的转换，引入的坐标系

向量的运算和几何意义 向量的点乘和叉乘

参照 https://juejin.im/post/6850418118155501582

矩阵的数学意义

方阵：行数和列数相同的矩阵
单位矩阵：是一种特殊的对角矩阵，n维单位矩阵记做 In。是n * n 矩阵。对象元素为1.其他元素为0。

矩阵转置

一个r * c 矩阵M。M的转置记做M^T，是一个 c * r 矩阵。它的列由M的行组成。可以从另⽅面理解。 (Mij)^T = Mji ,即沿着矩阵的对角线翻折。
向量的转置：

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标量与矩阵的乘法计算

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矩阵相乘

A ✖ B 计算的前提条件是： A的列数 = B的行数

矩阵相乘法则:对结果中的任意元素Cij，取A的第i行和第j列，将行和列中的对应元素相乘。然后将结果相加 (等于A的i列列和B的j列列的点积)，Cij就等于这个和。

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注意：

• 单位矩阵左乘/右乘矩阵，都等于原矩阵
• 不满足交换律 AB != BA
• 满足结合律（前提是矩阵相乘有意义） ABC= A(BC)
• (kA)B = k(AB) = A(kB)
• (AB)^T = (B^T)(AT)

向量与矩阵乘法

⾏向量左乘矩阵时，结果是⾏向量;
列向量右乘矩阵时，结果是列向量;
行向量右乘矩阵时，结果是无意义;
列向量左乘矩阵时，结果是无意义;

矩阵与向量相乘 注意事项:
1.结果向量中的每个元素都是原向量与矩阵中单独行或列的点积; 2.矩阵一向量乘法满足对向量加法的分配律，对于向量v,w 和 矩阵M 有，
(v + w)M = vM + wM;

为什么要使用行向量?(偏向于书写⽅便)

• 1.在文字中使用行向量的形式更更加好书写;
• 2.用矩阵乘法实现坐标系转换时，向量左乘矩阵的形式更加方便
• 3.DirectX使用的是行向量

为什么要使用列向量?

• 1.等式中使⽤列向量形式更好
• 2.多本计算机图形学都是使用的列向量
• 3.OpenGL 使⽤的是列向量

矩阵的几何意义：

• 1.⽅阵的行能被解释为坐标系的基向量;
• 2.为了将向量从原坐标系变换到新坐标系，⽤它乘以一个矩阵。
• 3.从原坐标系到这些基向量定义的新坐标系的变化是一种线性变换。线性变换保持直线和平行线。但角度、⻓度 面积或体积可能会改变。
• 4.零向量乘以任何矩阵仍然得到零向量。因此，⽅阵所代表的线性变换的原点和原坐标系原⼀一致。变换不包含原点。
• 5.可以通过想象变换后的坐标系的基向量来想象矩阵。这些基向量在2D中构成L形。在3D构成“三⻆架”型。⽤一个盒⼦以及辅助更更有助于理解

2D下的旋转矩阵公式推演

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3D下的旋转矩阵公式推演

• 围绕X轴旋转

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• 围绕Y轴旋转

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• 围绕Z轴旋转

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• 围绕n轴旋转

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缩放与平移矩阵公式推演

• 沿坐标轴2D的缩放矩阵

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• 沿坐标轴3D的缩放矩阵

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• 沿任意方向缩放

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