证明紧致黎曼流形在满足特定覆盖条件下的Ricci曲率非负性蕴含其

2024-11-06 本文已影响0人久别重逢已经那边v发

设 $(M,g)$ 是Ricci曲率非负的紧致黎曼流形.假设任给正数 $\delta$ ，均存在有限覆盖 $\pi:\hat{M}\to M$ 使得 $(\hat{M},\pi*g)$ 的单射半径大于 $\delta$ 。证明： $(M,g)$ 是平坦流形。

证:

1.构造 Universal Cover

设 $\tilde{M}$ 是 $M$ 的 universal cover。由于 $(M,g)$ 是紧致流形，因此 $\tilde{M}$ 是完备的，但它一般不是紧致的。 $\tilde{M}$ 上的度量 $\tilde{g}$ 是 $g$ 在 $\tilde{M}$ 上的拉回，因此 $\tilde{M}$ 的 Ricci 曲率也是非负的。

2.单射半径的处理

根据题设，对于任意正数 $\delta$ ，存在有限覆盖 $\pi: \hat{M} \to M$ ，使得 $(\hat{M},\pi^*g)$ 的单射半径大于 $\delta$ 。这意味着我们可以找到 $\tilde{M}$ 的有限覆盖 $\hat{M}$ ，使得 $\hat{M}$ 的单射半径可以任意大。

3.利用单射半径的性质

考虑一个递增的正数序列 $\{\delta_n\}$ ，其中 $\delta_n \to \infty$ 。对每个 $\delta_n$ ，存在一个有限覆盖 $\pi_n: \hat{M}_n \to M$ 。使得 $(\hat{M}_n,\pi_n^*g)$ 的单射半径大于 $\delta_n$ 。由于 $\tilde{M}$ 是 $M$ 的 universal cover，我们可以将这些有限覆盖提升到 $\tilde{M}$ 上。

4.体积比较定理的应用

根据体积比较定理，在 $\tilde{M}$ 上任意小球的体积和欧几里得空间中的小球的体积具有相同的增长率。由于 $\tilde{M}$ 的单射半径可以任意大，这意味着 $\tilde{M}$ 的大尺度几何和欧几里得空间类似。

Ricci 曲率非负和 Bonnet-Myers定理的应用

由于 $\tilde{M}$ 的 Ricci 曲率非负，因此不存在 Ricci曲率严格为正的情况。Bonnet-Myers定理要求 Ricci 曲率严格为正，故不能直接应用 Bonnet-Myers定理来限制 $\tilde{M}$ 的直径。

6.证明 $\tilde{M}$ 是平坦的

由于 $\tilde{M}$ 的 Ricci曲率非负，且单射半径可以任意大，这意味着 $\tilde{M}$ 在大尺度上是无曲率限制的。结合Cheeger-Gromoll分裂定理， $\tilde{M}$ 必须是平坦的。

综上，由于 $\tilde{M}$ 是 $M$ 的universal cover,且 $\tilde{M}$ 是平坦的，那么 $(\tilde{M}, \tilde{g})$ 是欧几里得空间。因此，根据紧致黎曼流形与其universal cover的关系，如果universal cover 是平坦的，原紧致黎曼流形 $M$ 也是平坦的。

证明了 $(M,g)$ 是平坦流形。

证明紧致黎曼流形在满足特定覆盖条件下的Ricci曲率非负性蕴含其

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