36.滤过余限制

继续考察前一节的函子，这一次考虑混合交换性。

经过一番计算，他就成立了。

糟糕的是混合交换性一般的并不成立。例如，集合中的积和不交并。

显然是不成立的，由基数比较就不成立。

非常重要的例子是，混合交换性在集合，以及许多代数型范畴中总是成立的，只要范畴C是滤过的，D是有限的。有限指拥有有限个对象和箭头。

一个范畴是滤过的，当

1.非空

2.任意两个对象存在指向同一对象的箭头

3.任意两个平行箭头总能经某个箭头复合后相等

滤过余限制指滤过范畴上的函子的余限制。我们称一个范畴有滤过余限制，当所有小滤过范畴和所有的这样的小范畴指向指定范畴的函子，余限制都存在。

设C是滤过范畴，对于所以有限范畴D，和所有D--C的函子，函子存在余锥。

证明很长，现在不看。

常常，我们将这个引理用于任意有限子范畴的含入。

余限制的构造简化为两个余积和一个余等子，但是，集合范畴的余等子的显式表述往往非常技术化，因为包含了序对组生成的等价关系的描述。但是在滤过余等子的例子中，对应的等价关系呈现非常简单的描述。

考虑小滤过范畴，和到集合范畴的函子，函子的余限制这样给出。对象对应集合相对于等价关系的商集的关于所有对象的不交并。

这是滤过余限制的主要性质

考虑小滤过范畴和有限范畴，给出这两个范畴的积范畴到集合范畴的函子，混合交换性成立。

为了说明为什么可以推广到代数型范畴，这里给出了交换群的例子

遗忘函子，由交换群范畴到集合范畴，保持和映出滤过余限制

在交换群范畴，有限限制和滤过余限制交换

其实就是混合交换性的另一种说法。

让我们考察在每个范畴中合法的结果。大致上讲，一个任意余限制是关于他的有限生成部分余限制的滤过余限制

考虑函子F：D---C，C是有限完备的。记F为D的有限生成子范畴，F是滤过的。给出X属于F，考虑F：X---C的余限制，可以拓展为一个函子。这个函子由一个余限制当且仅当F由一个余限制并且这两个余限制的对象相同。

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总算是没了，这么多，虽然不感兴趣，但是还是要一览而过，避免后面感兴趣的内容涉及这些东西，那就麻烦了。所以尽量第一遍整体过一下，有个印象就行，然后再选择某个有趣的部分深入看。