15.单态的例子，满态

f.实巴拿赫空间和线性收缩，这个线性收缩到底是什么？单态就是单的线性收缩。

g.上面的例子带来了一个错误印象，在具体的例子中，单态总是单的态射。这是错误，下面就给出一个反例，首先是代数的反例。

考虑可除交换群和群同态构成的范畴。有理数加群相对整数加群的商映射显然不是单射，但却是可分交换群范畴的单态。证明，构造，推出。

h.拓扑的反例，考虑这样的范畴，对象为连通拓扑空间和基点构成的序对，态射为保持基点的连续映射，这好像是代数拓扑中的东西，带基点的拓扑空间，考虑由圆周螺旋到圆的投射π，当f是范畴中的射，并且满足经由π的提升g，那么这个提升g就是唯一的。但是，这也说明了π是单态，显然他不是单射。

满态，满足右消去性的态射

记号，

1.恒等态射是满态

2.满态的复合是满态

3.复合后的映射是满态，那么左边的是满态。满，则f满

每一个收缩是满态。证明，复合后是恒等态射，是满态，故收缩是满态。

忠实函子映出满态。这就有意思了，忠实函子对单态，满态都映出，就因为这个被称为忠实吗？

这一节的证明与上一节的证明出奇的相似，其实是单态和满态是对偶原理的一个特例。

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今天就到这了，之后是满态的例子。感觉范畴论中的例子很多都没听说过，因为范畴关注于整体的性质，是空间之间的变换，而通常我们总是局限于一个空间去求解具体问题，所以忽视了整体的性质，这也是范畴论的重要意义，离开局部，关注整体，关注联系，关注普遍性。