文件在抽屉的概率问题

《思考的乐趣》一书第2节 "找东西背后的概率"，讲了一个很有趣的题目：

我的书桌有8个抽屉，分别用数字1到8编号。每次拿到一份文件后，我都会把这份文件随机地放在某一个抽屉中。但我非常粗心，有 的概率会忘了把文件放进抽屉里，最终把这个文件搞丢。
现在，我要找一份非常重要的文件。我将按顺序打开每一个抽屉，直到找到这份文件为止（或者很悲剧地发现，翻遍了所有抽屉都没能找到这份文件）。考虑下面三个问题：
(1) 假如我打开了第一个抽屉，发现里面没有我要的文件。这份文件在其余7个抽屉里的概率是多少？
(2) 假如我打开了前4个抽屉，发现里面没有我要的文件。这份文件在剩下的4个抽屉里的概率是多少？
(3) 假如我打开了前7个抽屉，发现里面没有我要的文件。这份文件在最后1个抽屉里的概率是多少？

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对于第一个问题：很多人第一反应答案是：

我们首先对事件A、B做如下假设：
事件A：文件不在第1个抽屉
事件B：文件在第2-8个抽屉中

所以， 其实表示的是事件A、B同时发生的概率，即， 。而题目实际上想让我们求的是条件概率，现给出如下两种方法求解：

• 条件概率定义法

：如前所述，即A、B事件同时发生的概率，即

：文件不在第一个抽屉中的概率，其有两种情况：一是在其余7个抽屉中，另一则为文件弄丢了。即，

则将上述值带入式，即可知：

• 贝叶斯公式

由 式条件概率的定义，可以很容易证明贝叶斯公式，即式。

：文件在第2-8个抽屉的条件下，文件不在第一个抽屉的条件概率，易知为1

：文件在第2-8个抽屉中的概率，即，

：由上文可知，即

将上述值带入式，即可知：

对于问题2、3同理 ……

作者顾森则在书中给出了一个非常巧妙的方法 :

注意到，平均每10份文件就有两份被搞丢，其余8份平均地分给了8个抽屉。假如我把所有搞丢了的文件都找了回来，那么它们应该还占2个抽屉。这让我们想到了这样一个有趣的思路：在这8个抽屉后加上2个虚拟抽屉——抽屉9和抽屉10，这两个抽屉专门用来装我丢掉的文件。我们甚至可以把题目等价地变为：随机把文件放在10个抽屉里，但找文件时不允许打开最后2个抽屉。当我已经找过n个抽屉但仍没找到我想要的文件时，文件只能在剩下的10-n个抽屉里，但是我只能打开剩下的8-n个抽屉，因此所有的概率是。当n分别等于1、4、7时，这个概率值分别是、和