44.伴随函子的例子：自由幺半群

2021-01-07 本文已影响0人 Obj_Arr

a.考虑幺半群和幺半群同态构成的范畴 $Mon$ 。

基础集函子 $U:Mon\to Set$ （实际上就是遗忘函子）有左伴随 $F:Set\to Mon$ 。

作用效果是，对每一个给定的集合X，FX就是X上的自由幺半群（将X中的元素作为字母，生成的有限字符串的集合，在并置运算或者说字符串连接运算下，构成的幺半群，就是X上的自由幺半群）。对于给定的映射 $f:X\to Y$ ， $Ff:FX\to FY$ 是通过将f作用于有限字符串上的每个字母来实现的。

存在一个明显的映射 $\eta_X:X\to UFX$ ，作用效果是将字母x映到单元素字符串（x），可以看作一个含入，将单字符也视为字符串。

给定一个幺半群 $(M,*)$ ，和一个映射 $g:X\to M$ ，我们就得到了所需的唯一分解 $h:FX\to (M,*)$ ，定义为 $h(x_1,,...,x_n)=g(x_1)*...*g(x_n)$ ，空串映到单位元。

更新了上一节的证明的图，花了很多时间，就到这里了。