20.极限，积

开始第二章，极限的学习

在第一章中，我们已经认识到数学理论模型和对应的态射常常构成有趣的范畴，像集合及映射，向量空间及线性映射，拓扑空间及连续映射等等。

对于一个给定的数学结构，经常在模型或态射上附加一些操作，比如笛卡尔积，商运算，同态核，并，交等等。这一章的目的就在于给出一个更加普遍的理论，可以将绝大多数的这样的数学构造视为他的特例。

积

大家都知道如何构造两个集合的笛卡尔积，就是一个有序对集，并且还有两个标准的透射。而且，对于任意的集合，和这个集合到两个基础集的映射，存在唯一的映射从这个集合到笛卡尔积集，并满足上面的交换图。

将集合和映射替换为范畴和函子，于是上面的交换图其实代表了两个范畴的积，这在前面已经学过了。这个事实其实要更加的普遍，对每一个范畴都有意义。

C是一个范畴，A，B是C的对象，于是A，B的一个积，定义为三元组，其中，P是C的一个对象，另外两个是P分别到A，B的态射。并且对于别的三元组，存在唯一的态射使得交换图成立。

虚线指存在唯一性。

很容易认识到

在范畴中，两个对象的笛卡尔积，如果存在，就在同构的意义下唯一。也就是说即使存在不同的笛卡尔积，他们之间必定存在同构映射。

证明，考虑两个积，则他们可以互相转化，这个转化映射就是所需的同构映射。即,同理。于是s，r都是同构。

于是，因为上面的定理，就可以将两对象的积记为

一个常犯的错误是认为透射是满态，这是不对的，即使在集合范畴中也是不对的，当一个集合是空集，另一个不是空集，那么pA就不是满的，因此不是满态。（解释一下，B是空集，那么AxB就是空集，于是pA就是空映射）

另一个常犯的错误是认为，只要固定了对象P=AxB，透射就是唯一的，这也不对，因为定义中对象和透射都是在同构的意义下定义的，后面会给出反例。

范畴中，只要对应的积存在，下面的同构就成立。

证明，交换前后都是积，所以存在同构，下面的只是命题的一个推广，可以证明也是成立的。

AXB，BXA之间的同构常称之为扭转同构

上面的命题暗示了可定义n对象积，实际上，任意对象族的积都是可以定义的。

对象和一族透射，构成了对象族的积。

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先到这了，积是很普遍的构造，积空间是很多数学结构中的常客。