范畴论:代数结构的完全释明

之前，我写过，学完范畴论，基本的代数结构就完全掌握了，看似是在说大话，毕竟代数的种类那是不可胜数，群环域模，向量张量，矩阵，函数，函数变换，算子，等等，代数早已是基本的工具，遍布数学的所有领域中。

但是，事实确实如此，线性结构，是基本的加法和标量乘积，这些运算非常简单，却也非常实用，一般都被写入了定义中，作为基本运算。

接着还有什么结构呢？对，乘法结构，乘法和加法的结构是一样的，都是选出两个同类型元素，得到另一个同类型元素，不过，对象赋予规则不同，反映在加法逆元和乘法逆元的不一致。

本质上，加法和乘法在抽象概念上的定义是不一样的，一般总是把基础的可交换二元运算称为加法，而把附加在这个基础结构之上的新的二元运算称为乘法，不必局限于可交换的情形。加法和乘法也是从算数中借来的，所以，用来描述非数结构其实并不合适。所以，一般的代数就变成了n元代数，对n个给定元素，选出一个特定元素。

所以，单纯从这种结构描述的层面，许多的概念其实早已被定义过了，可以这样说，假如现在发现了新的研究对象，立即就可以对它进行代数结构的分类，这种分类直接就确定了他的基本代数结构，运算的个数，元数，交换性，结合性，同态，运算的同态保持性。

所以，这也无怪于许多数学家把数学视为结构的数学，其实，几乎所有的数学概念都可以这样去结构化，通过把逻辑命题转化为范畴代数的表述，但是，这样的表述并不能解决问题，只是通过另一种方式表述问题，所以，也没有太大的用处。

不过，在基本的抽象层面了解问题就足够了，尤其是对一些实际问题，应用问题。受制于物理理论的近似精度和参数测量精度，不需要引入高阶结构，

这种描述是非常肤浅而无聊的，有趣的问题一般不会在这个层面上出现，但是，由于人们的认识水平的不同，就会带来惊叹，如此神奇，如此统一，事实上，这是司空见惯的事情。

遗憾的是，这种描述方式在通常的教育中一般接触不到，整体上，代数相关的课程都是很少的，虽然，我感觉代数才体现了数学的本质特征，是纯粹的数学，却也不能否认他的高度抽象性，需要从极大量的实际场景中提炼出来这种统一性，绝不是单单几本教科书能教会的。抽象，如果失去了具体的支撑就是不可理解的东西。

这也是一直在做的事情，将抽象的运算转化为实际的，生活中可触及的问题和现象。这方面计算机中的各种算法和数据结构可以说提供了大量的实例，代数和计算机的联系确实是非常紧密的。

泛泛而谈，虽然感觉没什么内容，可能还是需要的。或许有人觉得人们发展出了如此强有力的工具，可以解决几乎所有的问题了，事实上，人们几乎不能完全解决任何实际问题，完全描述也是不可能的，就像在风的吹拂下寻找一棵不动的树，人们只是用摄像机去拍摄它的每一个瞬间，然后选出一张比较清晰的，宣称他就是树的本体。

世界是一个整体，无法做到完全孤立他的任何一部分，所以，科学只是近似的科学。从整体论入手，很多问题就不是问题，而是必然。自然中奇妙的事情远比人所能想象的要多得多。承认自己认识的有限性，才能接纳无尽的知识，在任何事情上都是这样。长存一个无，才能获得有。而如果常怀有，那就没有无。为学日益，为道日损，损之又损，以至于无为。